ГлавнаяДифференциальные уравнения полей температурного, массосодержания и термических напряжений, согласно линейным уравнениям Онзагера, могут быть представлены в таком виде:
где β — коэффициент термического расширения; у — кинематическая вязкость (η/γ0).
B уравнении температурного поля (I) второй член правой части уравнения описывает наложение поля химических превращений.
В уравнении поля массосодержания (II) второй член слагаемого описывает влияние градиента температуры на изменение массосодержания или на увеличение переноса массы под действием градиента температуры, и третий член правой части уравнения связан с возникновением кинетической энергии движения (теплового скольжения) в системе.
В уравнении (III) поля энергии упорядоченного движения второй член его правой части представляет собой изменение величины поля энергии упорядоченного движения с наложением поля массосодержаний, третий член — наложение на поле энергии упорядоченного движения поля температур.
Мы видим, что законы переноса тепла и вещества автомамически включают в себя эффект теплового скольжения. Хотя конечные выражения законов переноса имеют один и тот же вид, что и прежние законы, но входящие в них коэффициенты приобретают другой физический смысл, более общий. Они являются комплексными коэффициентами, учитывающими все виды переноса в их взаимосвязи. В зависимости от интенсивности протекания того или иного вида переноса в теле отдельные слагаемые уравнений могут принимать малые значения, что позволяет при получении общих и частных решений или принебрегать или полагать их равными нулю.
Система дифференциальных уравнений переноса, как известно, является математической моделью целого класса наиболее общих явлений природы. Следовательно, при интегрировании какого-либо дифференциального уравнения мы получаем множество различных решений, удовлетворяющих этому уравнению, а чтобы из большого числа решений выделить одно нам нужное решение, необходимо принять дополнительные условия однозначности.
Однако ввиду сложности самих изучаемых, а отсюда и дифференциальных уравнений математической физики в большинстве случаев найти точное решение очень трудно. Экспериментальные же методы дают возможность изучить свойства только конкретного единичного явления, но результаты, получаемые из данного опыта, не могут быть распространены на другие явления, отличающиеся от изучаемого.
Физическая теория подобия дает возможность объединить сильные стороны дифференциальных уравнений математической физики и экспериментального метода в одно целое и получить весьма универсальный аппарат для изучения различных явлений природы. Теория подобия — учение о методах научного обобщения данных единичного опыта. Она широко применяется в получении решений дифференциальных уравнений в критериальной форме. Данные решений, полученных в критериальной форме, могут быть распространены на целый класс или группу подобных им явлений.
В нашем случае для изучения и математического описания весьма сложных процессов переноса тепла и массы в процессе обжига золокерамических стеновых изделий их математическую модель сводим к одномерной задаче. На дифференциальных кривых нагревания, полученных при обжиге модельных образцов из зол, глин и их смесей, линии температурных полей своими изгибами четко отмечают начало и окончание характерных термических эффектов в точках образца, на глубине которого помещены горячие спаи термопар.
Для обработки таких искаженных эндотермическими и экзотермическими эффектами дифференциальных кривых нагревания модельных образцов из зол, глин и их смесей мы использовали нужные решения дифференциального уравнения переноса тепла, осложненного массообменом при химических превращениях.
Рассмотрим решения дифференциального уравнения (I) применительно к обжигу (при квазистационарном режиме) модельного зологлиняного образца. Для случая одномерной задачи с учетом тепла горения топлива, содержащегося в зольной части материала, уравнение (I) напишем в следующем виде:
где ρг — тепло горения топлива, запрессованного в теле образца в составе золы ТЭС; ρх — тепло химических превращений в глинистой части материала.
С учетом градиента массы по времени, представляющего собой сложную зависимость
уравнение переноса тепла можно представить так:
Выражение, стоящее в скобках, является эффективной весовой теплоемкостью тела:
Тогда уравнение переноса тепла перепишется так:
где аэ = λ/сэγ0 — эффективный коэффициент температуропроводности (потенциалопроводности переноса тепла материала).
Последнее уравнение представляет собой классическое уравнение теплопроводности Фурье, содержащее эффективную потенциалопроводность переноса тепла (аэ).
Рассмотрим решение дифференциального уравнения теплопроводности без внутренних источников тепла (нагревается обожженный образец), разработанных А.В. Лыковым для сравнительного метода нагревания тела с постоянной скоростью:
Из анализа полученного решения видно, что ряд быстро сходится и, начиная с определенного значения Fo>Fo1, температура любой точки тела становится линейной функцией времени, а распределение температуры в одномерных задачах описывается параболическим законом (квазистационарный режим).
По решению (4.27) для уравнения с эффективным потенциалом переноса тепла (4.26) (обжигается сырой образец) аналогично можно написать
где Pdэ = bR2/аэtc — эффективный критерий Предводителева; Г — постоянное число, для неограниченной пластины Г=3, для шара Г—6, для неограниченного цилиндра Г=4; tc —температура окружающей среды, °C; b — скорость нагрева, °С/ч.
Из соотношения (4.28) следует, что перепад температуры между поверхностью тела t(R, τ) и любой его точкой t (г, τ) обратно пропорционален эффективному коэффициенту температуропроводности:
где tп — температура поверхности тела; tц — температура центра тела.
По уравнению (4.30), используя данные дифференциальных кривых, полученных с помощью дифференциальных термопар, горячие спаи которых установлены на поверхности и в центре модельного образца, можно рассчитать коэффициент температуропроводности материала.
Для расчета эффективной теплоемкости применяется известная формула
где λ — коэффициент теплопроводности; γ0 — плотность обожженного золокерамического материала.
Известно, что перепад температуры между средой и поверхностью тела прямопропорционален теплоемкости
где tc — температура среды в печи.
Отсюда можно определить коэффициент теплообмена
Известно, что при нагреве тел без внутренних источников тепла (например, обожженных керамических материалов) термические характеристики (Я, с, а) материалов изменяются в малых пределах. Это позволяет при решении некоторых задач принять их значения постоянными, что дает возможность упростить дифференциальные уравнения и их решение. При нагреве же тел с внутренними источниками тепла (глина, зологлиняная смесь) термические характеристики изменяются в широких пределах, что необходимо учитывать при решении дифференциальных уравнений переноса тепла.
Например, в решениях уравнения (4.26) для квазистационарного режима (4.28) влияние изменения термических характеристик (аэ, сэ) учитывается через эффективные критерии (Pdэ, Foэ, Biэ).
Рассмотрим возможности такого подхода к решению дифференциального уравнения теплопроводности с внутренним источником тепла, для случая когда обжигается сырой зологлиняный образец.
Из решения (4.27) видно, что при нагреве с одинаковой скоростью n-го количества различных тел (обожженных керамических образцов) без внутренних источников тепла для каждого момента времени τ1, τ2, ...,τn получим семейство n-кривых распределения температур. Эти кривые будут отличаться друг от друга в зависимости от значения термических характеристик (λ, с, а) материалов.
Если мы при тех же условиях нагреваем одно тело (с внутренним источником тепла), изменяющее свои теплофизические свойства (аэ, сэ) n раз по времени, тогда его температурное поле при τ1 будет подобным температурному полю материала, термические характеристики которого a(τ1)=aэ(τ1); c(n)=cэ(τ1). В следующий момент времени τ2 его температурное поле будет подобно температурному полю другого тела, которое имеет термические характеристики а(τ2)=аэ(τ2); с(τ2)=сэ(τ2) и т. д.
Чтобы убедиться в достоверности нашего толкования рассмотрим дифференциальные кривые модельного зологлиняного образца, записанные при квазистационарном режиме нагрева. На рис. 31 хорошо видны тепловые эффекты (отклонения распределения температуры от параболического закона), связанные с химическими превращениями в зологлиняной массе. На основе данных дифференциальных кривых нагревания по формуле (4.30) определены значения эффективного коэффициента температуропроводности при различной температуре (рис. 32). При этом, как видно из рис. 32, эффективный коэффициент температуропроводности зологлиняной массы изменяется в широких пределах.
После необходимой выдержки (τ = 2,5 ч) при t=1050°С для полного выгорания углерода образец остывал, а затем в тех же условиях был подвергнут повторному нагреву. При этом, как видно из рис. 31, 32, никаких тепловых эффектов не наблюдается и распределение температур по времени описывается решением дифференциального уравнения теплопроводности без источников тепла (4.27). Для наглядности приведенного выше толкования решений дифференциального уравнения теплопроводности с внутренним источником тепла на рис. 31, 32 приведены (штрихами) дифференциальные кривые изменения температурного поля образцов и изменения коэффициентов температуропроводности различных, условно обожженных, материалов.
Из рисунков видно, что зологлиняный образец, изменяя свои термические характеристики (аэ, сэ) в зависимости от температуры среды при определенном интервале времени, описывается решением уравнения теплопроводности того или иного обожженного материала, имеющего подобные термические характеристики, т. е. а(τi) =аэ(τi); с(τi) = сэ(τi).
Применяя метод конечных разностей для решения дифференциального уравнения теплопроводности (4.26) А. В. Ралко получил наиболее простой вид уравнения для определения эффективного коэффициента температуропроводности для случая, когда эндотермический эффект протекает в слое без повышения его температуры (в изотермическом режиме):
По точкам изгибов температурных линий, записанных дифференциальных кривых нагрева определяем длительность процесса (Δτ) в часах и отрезок (Δх), зависящий от глубины размещения горячих спаев термопар, в метрах в образце.
Метод конечных разностей не накладывает никаких ограничений на температуру среды, на термические коэффициенты (теплопроводность, температуропроводность, коэффициент теплообмена, теплоемкость).
Заменяя по принципу подобия аэ на аэ'/аэ, τ на τ1/τ и х2 на (х')2/x2 и подставляя в уравнение (4.34), получим
где Foэ — критерий Фурье.
Критерий Фурье состоит из эффективных физических величин аэ, τ и геометрического размера. Геометрический размер х определяет место положения точки в образце, в котором происходят фазовые и химические превращения в рассматриваемый отрезок времени Δτ.