Трубчатая окрестность

Трубчатая окрестность подмногообразия в многообразии — это открытое множество, окружающее подмногообразие и локально устроенное подобно нормальному расслоению.

Мотивация

Поясним понятие трубчатой окрестности на простом примере. Рассмотрим на плоскости гладкую кривую без самопересечений. В каждой точке кривой построим линию перпендикулярную к этой кривой. Если кривая не является прямой, эти перпендикуляры могут пересекаться друг с другом весьма сложным образом. Тем не менее, если рассматривать очень узкую ленточку вокруг кривой, кусочки перпендикуляров, лежащих в ленточке, не пересекутся и покроют всю её без лакун. Такая ленточка и является трубчатой окрестностью кривой.

В общем случае рассмотрим подмногообразие S ⊂ M {displaystyle Ssubset M} многообразия M и N — нормальное расслоение к подмногообразию S в M. В этом случае S играет роль кривой, а M — роль плоскости, содержащей эту кривую. Рассмотрим естественное отображение

i : N 0 → S {displaystyle i:N_{0} ightarrow S} ,

которое устанавливает взаимно-однозначное соответствие между нулевым сечением N 0 {displaystyle N_{0}} расслоения N и подмногообразием S из M. Пусть j — продолжение этого отображения на все нормальное расслоение N со значениями в многообразии M, причём j(N) является открытым множеством в M, а j — гомеоморфизмом между N и j(N). Тогда j называется трубчатой окрестностью.

Часто трубчатой окрестностью подмногообразия S называют не само отображение j, а его образ T=j(N), подразумевая тем самым существование гомеоморфизма j между множествами N и T.

Свойства

• Для замкнутого гладкого подмногообразия N {displaystyle N} риманого многообразия, множество N ε {displaystyle N_{varepsilon }} точек на расстоянии < ε {displaystyle <varepsilon } от N {displaystyle N} образует трубчатую окрестность N {displaystyle N} при всех достаточно малых положительных значениях ε {displaystyle varepsilon } .