Теория теплоёмкости Эйнштейна

Квантовая теория теплоёмкостей Эйнштейна была создана Эйнштейном в 1907 году при попытке объяснить экспериментально наблюдаемую зависимость теплоёмкости от температуры.

При разработке теории Эйнштейн опирался на следующие предположения:

• Атомы в кристаллической решётке ведут себя как гармонические осцилляторы, не взаимодействующие друг с другом.
• Частота колебаний всех осцилляторов одинакова и равна ν = ω / 2 π {displaystyle u =omega /2pi } .
• Число осцилляторов в 1 моле вещества равно 3 N a {displaystyle 3N_{a}} , где N a {displaystyle N_{a}} — число Авогадро.
• Энергия их квантования: ε = n ℏ ω {displaystyle varepsilon =nhbar omega } , где n ∈ N {displaystyle nin {mathbb {N} }} , ℏ {displaystyle hbar } — редуцированная постоянная Планка (постоянная Дирака).
• Число осцилляторов с различной энергией определяется распределением Больцмана

N n = N 0 exp ⁡ ( − ℏ ω k T n ) , {displaystyle N_{n}=N_{0}exp left(-{hbar omega over kT}n ight),}

где k {displaystyle k} — постоянная Больцмана, T {displaystyle T} — термодинамическая температура.

Внутренняя энергия 1 моля вещества:

U ¯ μ = 3 ε ¯ N a . {displaystyle {ar {U}}_{mu }=3{ar {varepsilon }}N_{a}.}

Среднее значение энергии одного осциллятора ε ¯ {displaystyle {ar {varepsilon }}} находится из соотношения для среднего значения:

ε ¯ = ∑ n = 0 ∞ ε n N n ∑ n = 0 ∞   N n {displaystyle {ar {varepsilon }}={sum _{n=0}^{infty }{varepsilon _{n}N_{n}} over sum _{n=0}^{infty }{ N_{n}}}}

и составляет:

ε ¯ = ℏ ω exp ⁡ ( ℏ ω k T ) − 1 , {displaystyle {ar {varepsilon }}={hbar omega over exp left({hbar omega over kT} ight)-1},}

отсюда:

U ¯ μ = 3 N a ℏ ω 1 exp ⁡ ( ℏ ω k T ) − 1 . {displaystyle {ar {U}}_{mu }=3N_{a}hbar omega {1 over exp left({hbar omega over kT} ight)-1}.}

Определяя теплоёмкость как производную внутренней энергии по температуре, получаем окончательную формулу для теплоёмкости:

C = d U d T = 3 R ( ℏ ω k T ) 2 exp ⁡ ( ℏ ω k T ) ( exp ⁡ ( ℏ ω k T ) − 1 ) 2 . {displaystyle C={dU over dT}=3Rleft({hbar omega over kT} ight)^{2}{exp left({hbar omega over kT} ight) over left(exp left({hbar omega over kT} ight)-1 ight)^{2}}.}

Согласно модели, предложенной Эйнштейном, при абсолютном нуле температуры теплоёмкость стремится к нулю, при больших температурах, напротив, выполняется закон Дюлонга — Пти. Величина θ E = ℏ ω k {displaystyle heta _{E}={hbar omega over k}} иногда называется температурой Эйнштейна.

Недостатки теории

Теория Эйнштейна, однако, недостаточно хорошо согласуется с результатами экспериментов при низких температурах, когда при стремлении температуры к нулю теплоемкость стремится к нулю гораздо медленнее, чем по теории Эйнштейна. Также теория Эйнштейна содержит неточное предположение о равенстве частот колебаний всех осцилляторов. Более точная теория была создана Дебаем в 1912 году.