В теории потребления, косвенная функция полезности отражает максимальную полезность потребителя в зависимости от цен p {displaystyle p} и от дохода w {displaystyle w} .
Функция называется косвенной, потому что обычно потребители рассматривают и оценивают наборы в зависимости от количества потреблённых товаров, а не от их цен. Косвенная функция полезности v ( p , w ) {displaystyle v(p, w)} может быть вычислена из функции полезности u ( x ) {displaystyle u(x)} через решение задачи максимизации полезности, откуда будет найден наиболее предпочитаемый набор x ( p , w ) {displaystyle x(p, w)} (маршалловский спрос), тогда косвенная функция полезности будет равна v ( p , w ) = u ( x ( p , w ) ) {displaystyle v(p, w)=u(x(p, w))}
Свойства косвенной функции полезности
- не возрастает по ценам, так как увеличение цен не может сделать доступным тот набор, который соответствует большей полезности;
- не убывает по доходу, так как при возрастании дохода, как минимум, возможно потреблять прежний набор;
- однородна нулевой степени по ценам и доходу; если цены и доход возрастут пропорционально на одну и ту же величину (идеальная инфляция), функция не изменится;
- квазивыпукла относительно цен и дохода (p, w);
- непрерывна во внутренних точках (в силу теоремы о максимуме);
- если функция v(•) дифференцируема в точке ( p ¯ , w ¯ ) {displaystyle ({overline {p}},{overline {w}})} , маршалловский спрос может быть вычислен через тождество Роя: x i ( p ¯ , w ¯ ) = − ∂ v ( p ¯ , w ¯ ) / ∂ p i ∂ v ( p ¯ , w ¯ ) / ∂ w {displaystyle x_{i}({overline {p}},{overline {w}})=-{frac {partial v({overline {p}}, {overline {w}})/partial p_{i}}{partial v({overline {p}}, {overline {w}})/partial w}}} .