Экстраполятор первого порядка

Экстраполятор первого порядка — математическая модель для восстановления дискретизованного сигнала, которое может производиться обычным цифро-аналоговым преобразователем (который в данном случае выступает в качестве экстраполятора нулевого порядка) и аналоговой схемой (интегратором). В этом случае сигнал восстанавливается в виде кусочно-линейной аппроксимации изначально оцифрованного сигнала. По сравнению с экстраполятором нулевого порядка экстраполятор первого порядка в общем случае имеет меньший шум квантования и, следовательно, более точно восстанавливает сигнал.

Математическая модель

Пусть xs(t) — сигнал до оцифровки, и x(nT) — сигнал после оцифровки. Тогда экстраполятор нулевого порядка есть фильтр преобразующий идеально оцифрованный сигнал x s ( t ) {displaystyle x_{s}(t)} = x ( t )   T ∑ n = − ∞ ∞ δ ( t − n T )   {displaystyle =x(t) Tsum _{n=-infty }^{infty }delta (t-nT) } | = T ∑ n = − ∞ ∞ x ( n T ) δ ( t − n T )   {displaystyle =Tsum _{n=-infty }^{infty }x(nT)delta (t-nT) }

в кусочно-линейный сигнал

x F O H ( t ) = ∑ n = − ∞ ∞ x ( n T ) t r i ( t − n T T )   {displaystyle x_{mathrm {FOH} }(t),=sum _{n=-infty }^{infty }x(nT)mathrm {tri} left({frac {t-nT}{T}} ight) }

и имеющий импульсную передаточную функцию

h F O H ( t ) = 1 T t r i ( t T ) = { 1 T ( 1 − | t | T ) if  | t | < T 0 otherwise   {displaystyle h_{mathrm {FOH} }(t),={frac {1}{T}}mathrm {tri} left({frac {t}{T}} ight)={egin{cases}{frac {1}{T}}left(1-{frac {|t|}{T}} ight)&{mbox{if }}|t|<T&{mbox{otherwise}}end{cases}} } где t r i ( x )   {displaystyle mathrm {tri} (x) } — треугольная функция.

Амплитудно-фазовая частотная характеристика экстраполятора первого порядка есть преобразование Фурье его импульсной передаточной функции:

H F O H ( f ) {displaystyle H_{mathrm {FOH} }(f)} = F { h F O H ( t ) }   {displaystyle ={mathcal {F}}{h_{mathrm {FOH} }(t)} } = ( e i π f T − e − i π f T i 2 π f T ) 2   {displaystyle =left({frac {e^{ipi fT}-e^{-ipi fT}}{i2pi fT}} ight)^{2} } = s i n c 2 ( f T )   {displaystyle =mathrm {sinc} ^{2}(fT) }

где s i n c ( x )   {displaystyle mathrm {sinc} (x) } — sinc-функция.

Передаточная функция экстраполятора первого порядка получается формальной заменой s = i 2 π f:

H F O H ( s ) {displaystyle H_{mathrm {FOH} }(s)} = L { h F O H ( t ) }   {displaystyle ={mathcal {L}}{h_{mathrm {FOH} }(t)} } = ( e s T / 2 − e − s T / 2 s T ) 2   {displaystyle =left({frac {e^{sT/2}-e^{-sT/2}}{sT}} ight)^{2} }