ГлавнаяКвантовый дилогарифм — это специальная функция, определяемая формулой
ϕ ( x ) ≡ ( x ; q ) ∞ = ∏ n = 0 ∞ ( 1 − x q n ) , | q | < 1 {displaystyle phi (x)equiv (x;q)_{infty }=prod _{n=0}^{infty }(1-xq^{n}),quad |q|<1}В терминах q-экспоненты имеем ϕ ( x ) = E q ( x ) {displaystyle phi (x)=E_{q}(x)} .
Пусть u , v {displaystyle u,v} — «q-коммутирующие переменные», являющиеся элементами некоторой некоммутативной алгебры и удовлетворяющие отношению Вейля u v = q v u {displaystyle uv=qvu} . Тогда квантовый дилогарифм удовлетворяют тождеству Шютценбергерже
ϕ ( u ) ϕ ( v ) = ϕ ( u + v ) {displaystyle phi (u)phi (v)=phi (u+v)}тождеству Фаддеева — Волкова
ϕ ( v ) ϕ ( u ) = ϕ ( u + v − v u ) {displaystyle phi (v)phi (u)=phi (u+v-vu)}и тождеству Фаддеева — Кашаева
ϕ ( v ) ϕ ( u ) = ϕ ( u ) ϕ ( − v u ) ϕ ( v ) {displaystyle phi (v)phi (u)=phi (u)phi (-vu)phi (v)}Последнее тождество является квантовым обобщением пятичленного тождества Роджерса.
Квантовый дилогарифм Фаддеева Φ b ( w ) {displaystyle Phi _{b}(w)} определяется следующей формулой:
Φ b ( z ) = exp ( 1 4 ∫ C e − 2 i z w sinh ( w b ) sinh ( w / b ) d w w ) {displaystyle Phi _{b}(z)=exp left({frac {1}{4}}int _{C}{frac {e^{-2izw}}{sinh(wb)sinh(w/b)}}{frac {operatorname {d} !w}{w}} ight)} ,где контур интегрирования C {displaystyle C} обходит сингулярность при t = 0 сверху. Та же функция может быть описана с помощью интегральной формулы Вороновича
Φ b ( x ) = exp ( i 2 π ∫ R log ( 1 + e t b 2 + 2 π b x ) 1 + e t d t ) . {displaystyle Phi _{b}(x)=exp left({frac {i}{2pi }}int _{mathbb {R} }{frac {log(1+e^{tb^{2}+2pi bx})}{1+e^{t}}}operatorname {d} !t ight).}Людвиг Дмитриевич Фаддеев обнаружил квантовое пятичленное тождество
Φ b ( p ^ ) Φ b ( q ^ ) = Φ b ( q ^ ) Φ b ( p ^ + q ^ ) Φ b ( p ^ ) {displaystyle Phi _{b}({hat {p}})Phi _{b}({hat {q}})=Phi _{b}({hat {q}})Phi _{b}({hat {p}}+{hat {q}})Phi _{b}({hat {p}})}где p ^ {displaystyle {hat {p}}} и q ^ {displaystyle {hat {q}}} — самосопряжённые (нормализованные) операторы квантового механического импульса и положения, удовлетворяющие соотношению неопределённости Гейзенберга
[ p ^ , q ^ ] = 1 2 π i , {displaystyle [{hat {p}},{hat {q}}]={frac {1}{2pi i}},}и обратное отношение
Φ b ( x ) Φ b ( − x ) = Φ b ( 0 ) 2 e π i x 2 , Φ b ( 0 ) = e π i 24 ( b 2 + b − 2 ) . {displaystyle Phi _{b}(x)Phi _{b}(-x)=Phi _{b}(0)^{2}e^{pi ix^{2}},quad Phi _{b}(0)=e^{{frac {pi i}{24}}left(b^{2}+b^{-2} ight)}.}Квантовый дилогарифм находит приложение в математической физике, квантовой топологии и теории кластерных алгебр.
Точная связь между q-показательной функцией и Φ b {displaystyle Phi _{b}} выражается тождеством
Φ b ( z ) = E e 2 π i b 2 ( − e π i b 2 + 2 π z b ) E e − 2 π i / b 2 ( − e − π i / b 2 + 2 π z / b ) {displaystyle Phi _{b}(z)={frac {E_{e^{2pi ib^{2}}}(-e^{pi ib^{2}+2pi zb})}{E_{e^{-2pi i/b^{2}}}(-e^{-pi i/b^{2}+2pi z/b})}}} ,которое выполняется при Im b 2 > 0 {displaystyle b^{2}>0} .