Граничные условия Дирихле (граничные условия первого рода) — тип граничных условий, названный в честь немецкого математика П. Г. Дирихле. Условие Дирихле, применённое к обыкновенным дифференциальным уравнениям или к дифференциальным уравнениям в частных производных, определяет поведение системы на границе области. Задача о нахождении таких условий называется задачей Дирихле.
Определение
Определение для обыкновенных дифференциальных уравнений
Для обыкновенных дифференциальных уравнений y ″ + y = 0 {displaystyle y'+y=0} условия Дирихле на границе интервала равны y ( a ) = α {displaystyle y(a)=alpha } и y ( b ) = β {displaystyle y(b)=eta } , где α {displaystyle alpha } и β {displaystyle eta } — некоторые константы.
Определения для дифференциальных уравнений в частных производных
Для дифференциальных уравнений в частных производных ∇ 2 y + y = 0 {displaystyle abla ^{2}y+y=0} , где ∇ 2 {displaystyle abla ^{2}} — оператор Лапласа, граничные условия в некоторой области Ω ⊂ R n {displaystyle Omega subset mathbb {R} ^{n}} равны y ( x ) = f ( x ) ∀ x ∈ ∂ Ω , {displaystyle y(x)=f(x)quad forall xin partial Omega ,} где f ( x ) {displaystyle f(x)} — известная функция, определённая на границе области Ω . {displaystyle Omega .}