Главная
Новости
Строительство
Ремонт
Дизайн и интерьер
Каркасный дом
Несущие конструкции
Металлические конструкции
Прочность дорог
Дорожные материалы
Стальные конструкции
Грунтовые основания
Опорные сооружения




01.02.2023


31.01.2023


31.01.2023


31.01.2023


30.01.2023


30.01.2023


30.01.2023





Яндекс.Метрика

Дискретное преобразование Абеля

15.12.2022

Дискретным преобразованием Абеля называют следующее тождество:

∑ k = m n a k b k = a n B n − a m B m − 1 − ∑ k = m n − 1 ( a k + 1 − a k ) B k , {displaystyle sum limits _{k=m}^{n}a_{k}b_{k}=a_{n}B_{n}-a_{m}B_{m-1}-sum limits _{k=m}^{n-1}(a_{k+1}-a_{k})B_{k},}

где n ⩾ m ⩾ 1 {displaystyle ngeqslant mgeqslant 1} , ( a k ) , ( b k ) , ( B k ) {displaystyle (a_{k}),(b_{k}),(B_{k})} — последовательности ( k ∈ N ) {displaystyle (kin mathbb {N} )} , при этом B k = b 1 + b 2 + … + b k {displaystyle B_{k}=b_{1}+b_{2}+ldots +b_{k}} и B 0 = 0 {displaystyle B_{0}=0} . Это преобразование было названо в честь норвежского математика Нильса Хенрика Абеля. В математическом анализе оно используется при доказательстве признака сходимости Дирихле.

Преобразование Абеля является дискретным аналогом интегрирования по частям и иногда называется суммированием по частям.

Доказательство

Имеем

∑ k = m n a k b k = ∑ k = m n a k ( B k − B k − 1 ) = = ∑ k = m n a k B k − ∑ k = m n a k B k − 1 = = ∑ k = m n a k B k − ∑ k = m − 1 n − 1 a k + 1 B k = = a n B n + ∑ k = m n − 1 a k B k − ∑ k = m n − 1 a k + 1 B k − a m B m − 1 = = a n B n − a m B m − 1 − ∑ k = m n − 1 ( a k + 1 − a k ) B k , {displaystyle {egin{aligned}sum _{k=m}^{n}a_{k}b_{k}&=sum _{k=m}^{n}a_{k}(B_{k}-B_{k-1})=&=sum _{k=m}^{n}a_{k}B_{k}-sum _{k=m}^{n}a_{k}B_{k-1}=&=sum _{k=m}^{n}a_{k}B_{k}-sum _{k=m-1}^{n-1}a_{k+1}B_{k}=&=a_{n}B_{n}+sum _{k=m}^{n-1}a_{k}B_{k}-sum _{k=m}^{n-1}a_{k+1}B_{k}-a_{m}B_{m-1}=&=a_{n}B_{n}-a_{m}B_{m-1}-sum _{k=m}^{n-1}(a_{k+1}-a_{k})B_{k},end{aligned}}}

что и требовалось доказать.


Имя:*
E-Mail:
Комментарий: