∑ k = m n a k b k = a n B n − a m B m − 1 − ∑ k = m n − 1 ( a k + 1 − a k ) B k , {displaystyle sum limits _{k=m}^{n}a_{k}b_{k}=a_{n}B_{n}-a_{m}B_{m-1}-sum limits _{k=m}^{n-1}(a_{k+1}-a_{k})B_{k},}

где n ⩾ m ⩾ 1 {displaystyle ngeqslant mgeqslant 1} , ( a k ) , ( b k ) , ( B k ) {displaystyle (a_{k}),(b_{k}),(B_{k})} — последовательности ( k ∈ N ) {displaystyle (kin mathbb {N} )} , при этом B k = b 1 + b 2 + … + b k {displaystyle B_{k}=b_{1}+b_{2}+ldots +b_{k}} и B 0 = 0 {displaystyle B_{0}=0} . Это преобразование было названо в честь норвежского математика Нильса Хенрика Абеля. В математическом анализе оно используется при доказательстве признака сходимости Дирихле.

Преобразование Абеля является дискретным аналогом интегрирования по частям и иногда называется суммированием по частям.

Доказательство

Имеем

∑ k = m n a k b k = ∑ k = m n a k ( B k − B k − 1 ) = = ∑ k = m n a k B k − ∑ k = m n a k B k − 1 = = ∑ k = m n a k B k − ∑ k = m − 1 n − 1 a k + 1 B k = = a n B n + ∑ k = m n − 1 a k B k − ∑ k = m n − 1 a k + 1 B k − a m B m − 1 = = a n B n − a m B m − 1 − ∑ k = m n − 1 ( a k + 1 − a k ) B k , {displaystyle {egin{aligned}sum _{k=m}^{n}a_{k}b_{k}&=sum _{k=m}^{n}a_{k}(B_{k}-B_{k-1})=&=sum _{k=m}^{n}a_{k}B_{k}-sum _{k=m}^{n}a_{k}B_{k-1}=&=sum _{k=m}^{n}a_{k}B_{k}-sum _{k=m-1}^{n-1}a_{k+1}B_{k}=&=a_{n}B_{n}+sum _{k=m}^{n-1}a_{k}B_{k}-sum _{k=m}^{n-1}a_{k+1}B_{k}-a_{m}B_{m-1}=&=a_{n}B_{n}-a_{m}B_{m-1}-sum _{k=m}^{n-1}(a_{k+1}-a_{k})B_{k},end{aligned}}}

что и требовалось доказать.