Упорядоченная группа — группа, для всех элементов которой определён линейный порядок, согласованный с групповой операцией. Далее операция обозначается как сложение, ноль группы обозначается символом 0 {displaystyle 0} . Вообще говоря, группа может быть не коммутативной.
Определение
Пусть G {displaystyle G} — группа и для её элементов определён линейный порядок, то есть задано отношение ⩽ {displaystyle leqslant } (меньше или равно) со следующими свойствами:
Кроме того, потребуем, чтобы порядок был согласован с групповой операцией:
Если все пять аксиом выполнены, то группа G {displaystyle G} называется упорядоченной (или линейно упорядоченной). Если снять требование линейности (аксиома 4), то группа называется частично упорядоченной.
Упорядоченная группа является топологической группой с топологией интервального типа.
Связанные определения
Для удобства записи вводятся дополнительные вторичные отношения:
Отношение больше или равно: x ⩾ y {displaystyle xgeqslant y} означает, что y ⩽ x {displaystyle yleqslant x} . Отношение больше: x > y {displaystyle x>y} означает, что x ⩾ y {displaystyle xgeqslant y} и x ≠ y {displaystyle x eq y} . Отношение меньше: x < y {displaystyle x<y} означает, что y > x {displaystyle y>x} .Формула с любым из этих четырёх отношений называется неравенством.
Назовём изоморфизм упорядоченных групп у-изоморфизмом, если он сохраняет порядок.
Подгруппа H {displaystyle H} упорядоченной группы G {displaystyle G} называется выпуклой, если все элементы g ∈ G {displaystyle gin G} , находящиеся между элементами H , {displaystyle H,} принадлежат H . {displaystyle H.} Формальная запись: если h 1 , h 2 ∈ H {displaystyle h_{1},h_{2}in H} и h 1 ⩽ g ⩽ h 2 , {displaystyle h_{1}leqslant gleqslant h_{2},} то g ∈ H . {displaystyle gin H.} Подгруппа из одного нуля, очевидно, выпукла и называется тривиальной.
Свойства
Неравенства с одинаковыми типами отношения можно складывать, например:
Если a < b {displaystyle a<b} и c < d , {displaystyle c<d,} то a + c < b + d {displaystyle a+c<b+d}Нетривиальная конечная группа не может быть упорядочена. Другими словами, нетривиальная упорядоченная группа всегда бесконечна.
Архимедовость
Порядок в группе называется архимедовым, если для любых a > 0 {displaystyle a>0} и b > 0 {displaystyle b>0} найдётся такое натуральное n , {displaystyle n,} что:
a + a + … + a ⏟ n > b {displaystyle underbrace {a+a+ldots +a} _{n}>b}Теорема Гёльдера. Всякая архимедова упорядоченная группа у-изоморфна подгруппе аддитивной группы вещественных чисел (с обычным порядком); в частности, такая группа всегда коммутативна.
Следствие 1: всякий у-автоморфизм двух подгрупп аддитивной группы вещественных чисел сводится к растяжению, то есть к умножению на фиксированный коэффициент.
Следствие 2: группа у-автоморфизмов архимедовой группы изоморфна подгруппе мультипликативной группы положительных вещественных чисел.
Ещё один критерий архимедовости: упорядоченная группа является архимедовой тогда и только тогда, когда она не содержит нетривиальных выпуклых подгрупп.
Положительные и отрицательные элементы
Элементы, большие нуля группы, называются положительными, а меньшие нуля — отрицательными. При добавлении нуля к этим двум множествам получаются соответственно множество неотрицательных и неположительных элементов. Если x ⩾ 0 , {displaystyle xgeqslant 0,} то, прибавив − x , {displaystyle -x,} получим, что − x ⩽ 0. {displaystyle -xleqslant 0.} Это значит, что элементы, обратные неотрицательным, неположительны, и обратно. Таким образом, всякий элемент упорядоченной группы относится к одной и только одной из трёх категорий: положительные, отрицательные, ноль.
Обозначим P {displaystyle P} множество неотрицательных элементов. Тогда − P , {displaystyle -P,} то есть множество элементов, противоположных элементам P , {displaystyle P,} содержит все неположительные элементы. Перечислим свойства этих множеств.
(P1) P {displaystyle P} замкнуто относительно сложения. (P2) − P {displaystyle -P} имеет с P {displaystyle P} ровно один общий элемент — ноль группы: P ∩ ( − P ) = { 0 } . {displaystyle Pcap (-P)={0}.} (P3) ( − g ) + P + g ⊂ P {displaystyle (-g)+P+gsubset P} для любого g ∈ G . {displaystyle gin G.} (P4) P ∪ ( − P ) = G . {displaystyle Pcup (-P)=G.}Конструктивное построение порядка
Один из способов определить в произвольной группе G {displaystyle G} линейный порядок — выделить в ней подмножество неотрицательных чисел P, обладающее перечисленными выше свойствами [P1—P4].
Пусть такое P {displaystyle P} выделено. Определим линейный порядок в G {displaystyle G} следующим образом:
x ⩽ y {displaystyle xleqslant y} , если y − x ∈ P {displaystyle y-xin P} (отметим, что из свойства (P3) следует, что если y − x ∈ P , {displaystyle y-xin P,} то и − x + y ∈ P , {displaystyle -x+yin P,} даже если группа не коммутативна).Все приведенные выше аксиомы порядка тогда выполнены. Любая упорядоченная группа может быть построена (из неупорядоченной) с помощью описанной процедуры.
Абсолютная величина
Определим абсолютную величину элементов группы: | x | = m a x ( x , − x ) . {displaystyle |x|=max(x,-x).} Здесь функция m a x {displaystyle max} осуществляет выбор наибольшего значения.
Свойства абсолютной величины:
- | x | = 0 {displaystyle |x|=0} тогда и только тогда, когда x = 0. {displaystyle x=0.}
- Для всех ненулевых x {displaystyle x} и только для них | x | > 0. {displaystyle |x|>0.}
- Абсолютные величины противоположных чисел совпадают: | x | = | − x | . {displaystyle |x|=|-x|.}
- Неравенство треугольника: | x + y | ⩽ | x | + | y | . {displaystyle |x+y|leqslant |x|+|y|.}
- | x | ⩽ y {displaystyle |x|leqslant y} равносильно − y ⩽ x ⩽ y . {displaystyle -yleqslant xleqslant y.}
Примеры
- Аддитивная группа целых, рациональных или вещественных чисел с обычным порядком.
- Мультипликативная группа положительных вещественных чисел с обычным порядком.
- Рассмотрим аддитивную группу вещественных многочленов a 0 + a 1 x + ⋯ + a n x n . {displaystyle a_{0}+a_{1}x+dots +a_{n}x^{n}.} Определим в ней множество P {displaystyle P} неотрицательных элементов как множество многочленов, в указанной записи которых первый ненулевой коэффициент положителен. Тогда порождённый порядок определяет упорядоченную коммутативную группу.
- Определим в аддитивной группе G {displaystyle G} всех комплексных чисел множество P {displaystyle P} неотрицательных элементов следующим образом: a + b i ∈ P , {displaystyle a+biin P,} если либо a > 0 , {displaystyle a>0,} либо a = 0 ; b ⩾ 0. {displaystyle a=0;bgeqslant 0.} Другими словами, из двух комплексных чисел больше то, у которого больше вещественная часть, а в случае совпадения — то, у которого больше мнимая часть. Тогда порождённый порядок превращает G {displaystyle G} в упорядоченную коммутативную группу с неархимедовым порядком. В ней, например, 0 < i < 1 , {displaystyle 0<i<1,} причём сумма любого количества i {displaystyle i} всегда меньше 1, так что мнимая единица при таком порядке выступает как бесконечно малая по отношению к единице. Описанный порядок согласован с порядком вещественных чисел и со сложением комплексных чисел, но не согласован с умножением: умножив на i {displaystyle i} неравенство i > 0 , {displaystyle i>0,} мы получим ошибочное неравенство − 1 > 0 {displaystyle -1>0} . Доказано, что согласовать обе операции, то есть сделать комплексные числа упорядоченным полем, нельзя.