Главная
Новости
Строительство
Ремонт
Каркасный дом
Несущие конструкции
Металлические конструкции
Прочность дорог
Дорожные материалы
Стальные конструкции
Грунтовые основания
Опорные сооружения




04.12.2022


01.12.2022


01.12.2022


01.12.2022


01.12.2022


30.11.2022


30.11.2022





Яндекс.Метрика

Упорядоченная группа

24.11.2022

Упорядоченная группа — группа, для всех элементов которой определён линейный порядок, согласованный с групповой операцией. Далее операция обозначается как сложение, ноль группы обозначается символом 0 {displaystyle 0} . Вообще говоря, группа может быть не коммутативной.

Определение

Пусть G {displaystyle G} — группа и для её элементов определён линейный порядок, то есть задано отношение ⩽ {displaystyle leqslant } (меньше или равно) со следующими свойствами:

  • Рефлексивность: x ⩽ x {displaystyle xleqslant x} .
  • Транзитивность: если x ⩽ y {displaystyle xleqslant y} и y ⩽ z {displaystyle yleqslant z} , то x ⩽ z {displaystyle xleqslant z} .
  • Антисимметричность: если x ⩽ y {displaystyle xleqslant y} и y ⩽ x {displaystyle yleqslant x} , то x = y {displaystyle x=y} .
  • Линейность: все элементы группы сравнимы между собой, то есть для любых x , y {displaystyle x,y} либо x ⩽ y {displaystyle xleqslant y} , либо y ⩽ x {displaystyle yleqslant x} .
  • Кроме того, потребуем, чтобы порядок был согласован с групповой операцией:

  • Если x ⩽ y {displaystyle xleqslant y} , то для любого z справедливы соотношения:
  • x + z ⩽ y + z ; z + x ⩽ z + y . {displaystyle x+zleqslant y+z;quad z+xleqslant z+y.}

    Если все пять аксиом выполнены, то группа G {displaystyle G} называется упорядоченной (или линейно упорядоченной). Если снять требование линейности (аксиома 4), то группа называется частично упорядоченной.

    Упорядоченная группа является топологической группой с топологией интервального типа.

    Связанные определения

    Для удобства записи вводятся дополнительные вторичные отношения:

    Отношение больше или равно: x ⩾ y {displaystyle xgeqslant y} означает, что y ⩽ x {displaystyle yleqslant x} . Отношение больше: x > y {displaystyle x>y} означает, что x ⩾ y {displaystyle xgeqslant y} и x ≠ y {displaystyle x eq y} . Отношение меньше: x < y {displaystyle x<y} означает, что y > x {displaystyle y>x} .

    Формула с любым из этих четырёх отношений называется неравенством.

    Назовём изоморфизм упорядоченных групп у-изоморфизмом, если он сохраняет порядок.

    Подгруппа H {displaystyle H} упорядоченной группы G {displaystyle G} называется выпуклой, если все элементы g ∈ G {displaystyle gin G} , находящиеся между элементами H , {displaystyle H,} принадлежат H . {displaystyle H.} Формальная запись: если h 1 , h 2 ∈ H {displaystyle h_{1},h_{2}in H} и h 1 ⩽ g ⩽ h 2 , {displaystyle h_{1}leqslant gleqslant h_{2},} то g ∈ H . {displaystyle gin H.} Подгруппа из одного нуля, очевидно, выпукла и называется тривиальной.

    Свойства

    Неравенства с одинаковыми типами отношения можно складывать, например:

    Если a < b {displaystyle a<b} и c < d , {displaystyle c<d,} то a + c < b + d {displaystyle a+c<b+d}

    Нетривиальная конечная группа не может быть упорядочена. Другими словами, нетривиальная упорядоченная группа всегда бесконечна.

    Архимедовость

    Порядок в группе называется архимедовым, если для любых a > 0 {displaystyle a>0} и b > 0 {displaystyle b>0} найдётся такое натуральное n , {displaystyle n,} что:

    a + a + … + a ⏟ n > b {displaystyle underbrace {a+a+ldots +a} _{n}>b}

    Теорема Гёльдера. Всякая архимедова упорядоченная группа у-изоморфна подгруппе аддитивной группы вещественных чисел (с обычным порядком); в частности, такая группа всегда коммутативна.

    Следствие 1: всякий у-автоморфизм двух подгрупп аддитивной группы вещественных чисел сводится к растяжению, то есть к умножению на фиксированный коэффициент.

    Следствие 2: группа у-автоморфизмов архимедовой группы изоморфна подгруппе мультипликативной группы положительных вещественных чисел.

    Ещё один критерий архимедовости: упорядоченная группа является архимедовой тогда и только тогда, когда она не содержит нетривиальных выпуклых подгрупп.

    Положительные и отрицательные элементы

    Элементы, большие нуля группы, называются положительными, а меньшие нуля — отрицательными. При добавлении нуля к этим двум множествам получаются соответственно множество неотрицательных и неположительных элементов. Если x ⩾ 0 , {displaystyle xgeqslant 0,} то, прибавив − x , {displaystyle -x,} получим, что − x ⩽ 0. {displaystyle -xleqslant 0.} Это значит, что элементы, обратные неотрицательным, неположительны, и обратно. Таким образом, всякий элемент упорядоченной группы относится к одной и только одной из трёх категорий: положительные, отрицательные, ноль.

    Обозначим P {displaystyle P} множество неотрицательных элементов. Тогда − P , {displaystyle -P,} то есть множество элементов, противоположных элементам P , {displaystyle P,} содержит все неположительные элементы. Перечислим свойства этих множеств.

    (P1) P {displaystyle P} замкнуто относительно сложения. (P2) − P {displaystyle -P} имеет с P {displaystyle P} ровно один общий элемент — ноль группы: P ∩ ( − P ) = { 0 } . {displaystyle Pcap (-P)={0}.} (P3) ( − g ) + P + g ⊂ P {displaystyle (-g)+P+gsubset P} для любого g ∈ G . {displaystyle gin G.} (P4) P ∪ ( − P ) = G . {displaystyle Pcup (-P)=G.}

    Конструктивное построение порядка

    Один из способов определить в произвольной группе G {displaystyle G} линейный порядок — выделить в ней подмножество неотрицательных чисел P, обладающее перечисленными выше свойствами [P1—P4].

    Пусть такое P {displaystyle P} выделено. Определим линейный порядок в G {displaystyle G} следующим образом:

    x ⩽ y {displaystyle xleqslant y} , если y − x ∈ P {displaystyle y-xin P} (отметим, что из свойства (P3) следует, что если y − x ∈ P , {displaystyle y-xin P,} то и − x + y ∈ P , {displaystyle -x+yin P,} даже если группа не коммутативна).

    Все приведенные выше аксиомы порядка тогда выполнены. Любая упорядоченная группа может быть построена (из неупорядоченной) с помощью описанной процедуры.

    Абсолютная величина

    Определим абсолютную величину элементов группы: | x | = m a x ( x , − x ) . {displaystyle |x|=max(x,-x).} Здесь функция m a x {displaystyle max} осуществляет выбор наибольшего значения.

    Свойства абсолютной величины:

    • | x | = 0 {displaystyle |x|=0} тогда и только тогда, когда x = 0. {displaystyle x=0.}
    • Для всех ненулевых x {displaystyle x} и только для них | x | > 0. {displaystyle |x|>0.}
    • Абсолютные величины противоположных чисел совпадают: | x | = | − x | . {displaystyle |x|=|-x|.}
    • Неравенство треугольника: | x + y | ⩽ | x | + | y | . {displaystyle |x+y|leqslant |x|+|y|.}
    • | x | ⩽ y {displaystyle |x|leqslant y} равносильно − y ⩽ x ⩽ y . {displaystyle -yleqslant xleqslant y.}

    Примеры

    • Аддитивная группа целых, рациональных или вещественных чисел с обычным порядком.
    • Мультипликативная группа положительных вещественных чисел с обычным порядком.
    • Рассмотрим аддитивную группу вещественных многочленов a 0 + a 1 x + ⋯ + a n x n . {displaystyle a_{0}+a_{1}x+dots +a_{n}x^{n}.} Определим в ней множество P {displaystyle P} неотрицательных элементов как множество многочленов, в указанной записи которых первый ненулевой коэффициент положителен. Тогда порождённый порядок определяет упорядоченную коммутативную группу.
    • Определим в аддитивной группе G {displaystyle G} всех комплексных чисел множество P {displaystyle P} неотрицательных элементов следующим образом: a + b i ∈ P , {displaystyle a+biin P,} если либо a > 0 , {displaystyle a>0,} либо a = 0 ; b ⩾ 0. {displaystyle a=0;bgeqslant 0.} Другими словами, из двух комплексных чисел больше то, у которого больше вещественная часть, а в случае совпадения — то, у которого больше мнимая часть. Тогда порождённый порядок превращает G {displaystyle G} в упорядоченную коммутативную группу с неархимедовым порядком. В ней, например, 0 < i < 1 , {displaystyle 0<i<1,} причём сумма любого количества i {displaystyle i} всегда меньше 1, так что мнимая единица при таком порядке выступает как бесконечно малая по отношению к единице. Описанный порядок согласован с порядком вещественных чисел и со сложением комплексных чисел, но не согласован с умножением: умножив на i {displaystyle i} неравенство i > 0 , {displaystyle i>0,} мы получим ошибочное неравенство − 1 > 0 {displaystyle -1>0} . Доказано, что согласовать обе операции, то есть сделать комплексные числа упорядоченным полем, нельзя.

    Имя:*
    E-Mail:
    Комментарий: