Невязка

Невязка — величина ошибки (расхождения) приближённого равенства.

Пусть требуется найти такое x, что значение функции:

f ( x ) = b . {displaystyle f(x)=b.}

Подставив приближенное значение x0 вместо x, получаем невязку

b − f ( x 0 ) {displaystyle b-f(x_{0})}

а ошибка в этом случае равна

x − x 0 {displaystyle x-x_{0}} .

Если точное значение x неизвестно, вычисление ошибки невозможно, однако при этом может быть определена невязка.

Невязка аппроксимации функции

Схожее название используется в дифференциальных, интегральных и функциональных уравнениях.

Для аппроксимации f a {displaystyle f_{ m {a}}} решения f {displaystyle f} уравнения

T ( f ) ( x ) = g ( x ) {displaystyle T(f)(x)=g(x)} ,

невязка может быть функцией

g ( x )   −   T ( f a ) ( x ) {displaystyle g(x)~-~T(f_{ m {a}})(x)}

или по-другому максимумом нормы разности

max x ∈ X | g ( x ) − T ( f a ) ( x ) | {displaystyle max _{xin {mathcal {X}}}|g(x)-T(f_{ m {a}})(x)|} на области X {displaystyle {mathcal {X}}} , где функция

f a {displaystyle f_{ m {a}}} есть усреднённое решение f {displaystyle f} , или некоторый интеграл функции разности, например,

∫ X | g ( x ) − T ( f a ) ( x ) | 2   d x . {displaystyle int _{mathcal {X}}|g(x)-T(f_{ m {a}})(x)|^{2}~{ m {d}}x.}

В большинстве случаев, чем меньше невязка, тем аппроксимированное значение ближе к решению, то есть,

| f a ( x ) − f ( x ) f ( x ) | ≪ 1. {displaystyle left|{frac {f_{ m {a}}(x)-f(x)}{f(x)}} ight|ll 1.}

В этом случае начальное уравнение принималось за корректное; и невязка могла быть использована как показатель отклонения аппроксимации от точного решения.

Использование невязок

Если точное решение неизвестно, можно использовать аппроксимацию решения с небольшой невязкой.

Невязка фигурирует во многих разделах математики, в том числе в итерационных методах, таких как метод обобщенного минимума, в котором решение системы уравнений находится путём минимизации невязки.

В навигации невязкой называется расстояние между вычисленным по прокладке местоположением судна и фактически определённым (по светилам, маякам и т.д.) местоположением, измеряется в морских милях.