Главная
Новости
Строительство
Ремонт
Каркасный дом
Несущие конструкции
Металлические конструкции
Прочность дорог
Дорожные материалы
Стальные конструкции
Грунтовые основания
Опорные сооружения




01.12.2022


01.12.2022


01.12.2022


01.12.2022


30.11.2022


30.11.2022


29.11.2022





Яндекс.Метрика

Последовательность Люка

18.10.2022

В математике, последовательностями Люка называют семейство пар линейных рекуррентных последовательностей второго порядка, впервые рассмотренных Эдуардом Люка.

Последовательности Люка представляют собой пары последовательностей { U n ( P , Q ) } {displaystyle {U_{n}(P,Q)}} и { V n ( P , Q ) } {displaystyle {V_{n}(P,Q)}} , удовлетворяющих одному и тому же рекуррентному соотношению с коэффициентами P и Q:

U 0 ( P , Q ) = 0 , U 1 ( P , Q ) = 1 , U n + 2 ( P , Q ) = P ⋅ U n + 1 ( P , Q ) − Q ⋅ U n ( P , Q ) , n ≥ 0 {displaystyle U_{0}(P,Q)=0,quad U_{1}(P,Q)=1,quad U_{n+2}(P,Q)=Pcdot U_{n+1}(P,Q)-Qcdot U_{n}(P,Q),,ngeq 0} V 0 ( P , Q ) = 2 , V 1 ( P , Q ) = P , V n + 2 ( P , Q ) = P ⋅ V n + 1 ( P , Q ) − Q ⋅ V n ( P , Q ) , n ≥ 0 {displaystyle V_{0}(P,Q)=2,quad V_{1}(P,Q)=P,quad V_{n+2}(P,Q)=Pcdot V_{n+1}(P,Q)-Qcdot V_{n}(P,Q),,ngeq 0}

Примеры

Некоторые последовательности Люка носят собственные имена:

  • { U n ( 1 , − 1 ) } {displaystyle {U_{n}(1,-1)}} — числа Фибоначчи
  • { V n ( 1 , − 1 ) } {displaystyle {V_{n}(1,-1)}} — числа Люка
  • { U n ( 2 , − 1 ) } {displaystyle {U_{n}(2,-1)}} — числа Пелля
  • { V n ( 2 , − 1 ) } {displaystyle {V_{n}(2,-1)}} — числа Пелля — Люка
  • { U n ( 3 , 2 ) } {displaystyle {U_{n}(3,2)}} — числа Мерсенна
  • { V 2 n ( 3 , 2 ) } {displaystyle {V_{2^{n}}(3,2)}} — числа Ферма
  • { U n ( 1 , − 2 ) } {displaystyle {U_{n}(1,-2)}} — числа Якобшталя
  • { U n ( 2 x , 1 ) } {displaystyle {U_{n}(2x,1)}} — многочлены Чебышёва второго рода
  • { V n ( 2 x , 1 ) } {displaystyle {V_{n}(2x,1)}} — многочлены Чебышёва первого рода умноженные на 2

Явные формулы

Характеристическим многочленом последовательностей Люка { U n ( P , Q ) } {displaystyle {U_{n}(P,Q)}} и { V n ( P , Q ) } {displaystyle {V_{n}(P,Q)}} является:

x 2 − P ⋅ x + Q . {displaystyle x^{2}-Pcdot x+Q.}

Его дискриминант D = P 2 − 4 Q {displaystyle D=P^{2}-4Q} предполагается не равным нулю. Корни характеристического многочлена

α = P + D 2 {displaystyle alpha ={frac {P+{sqrt {D}}}{2}}} и β = P − D 2 {displaystyle eta ={frac {P-{sqrt {D}}}{2}}}

можно использовать для получения явных формул:

U n ( P , Q ) = α n − β n α − β = α n − β n D {displaystyle U_{n}(P,Q)={frac {alpha ^{n}-eta ^{n}}{alpha -eta }}={frac {alpha ^{n}-eta ^{n}}{sqrt {D}}}}

и

V n ( P , Q ) = α n + β n . {displaystyle V_{n}(P,Q)=alpha ^{n}+eta ^{n}.}

Формулы Виета позволяют также выразить P {displaystyle P} и Q {displaystyle Q} в виде:

P = α + β , {displaystyle P=alpha +eta ,} Q = α ⋅ β . {displaystyle Q=alpha cdot eta .}

Вырожденный случай

Дискриминант D {displaystyle D} обращается в ноль при P = 2 S , Q = S 2 {displaystyle P=2S,Q=S^{2}} для некоторого числа S {displaystyle S} . При этом выполняется α = β = S {displaystyle alpha =eta =S} и соответственно:

U n ( 2 S , S 2 ) = n S n − 1 , {displaystyle U_{n}(2S,S^{2})=nS^{n-1},} V n ( 2 S , S 2 ) = 2 S n . {displaystyle V_{n}(2S,S^{2})=2S^{n}.}

Свойства

D U n = V n + 1 − Q V n − 1 = 2 V n + 1 − P V n {displaystyle DU_{n}=V_{n+1}-QV_{n-1}=2V_{n+1}-PV_{n}} V n = U n + 1 − Q U n − 1 = 2 U n + 1 − P U n {displaystyle V_{n}=U_{n+1}-QU_{n-1}=2U_{n+1}-PU_{n}} U n + m = U n U m + 1 − Q U m U n − 1 = U n V m + U m V n 2 {displaystyle U_{n+m}=U_{n}U_{m+1}-QU_{m}U_{n-1}={frac {U_{n}V_{m}+U_{m}V_{n}}{2}}} V n + m = V n V m − Q m V n − m {displaystyle V_{n+m}=V_{n}V_{m}-Q^{m}V_{n-m}} U 2 n = U n V n = U n + 1 2 − Q 2 U n − 1 2 P {displaystyle U_{2n}=U_{n}V_{n}={frac {U_{n+1}^{2}-Q^{2}U_{n-1}^{2}}{P}}} V 2 n = V n 2 − 2 Q n {displaystyle V_{2n}=V_{n}^{2}-2Q^{n}} U 2 n + 1 = U n + 1 2 − Q U n 2 {displaystyle U_{2n+1}=U_{n+1}^{2}-QU_{n}^{2}}

Имя:*
E-Mail:
Комментарий: