Главная
Новости
Строительство
Ремонт
Каркасный дом
Несущие конструкции
Металлические конструкции
Прочность дорог
Дорожные материалы
Стальные конструкции
Грунтовые основания
Опорные сооружения




03.10.2022


03.10.2022


02.10.2022


02.10.2022


30.09.2022


30.09.2022


30.09.2022





Яндекс.Метрика

Проективный предел

08.08.2022

Проективный предел (обратный предел) — используемая в различных разделах математики конструкция, которая позволяет построить новый объект X {displaystyle X} по семейству (индексированному направленным множеством) однотипных объектов X i {displaystyle X_{i}} и набору отображений f i j : X j → X i {displaystyle f_{ij}:X_{j} o X_{i}} , i ⩽ j {displaystyle ileqslant j} . Один из видов пределов в теории категорий.

Для проективного предела обычно используются следующие обозначения:

X = lim ← ⁡ X i {displaystyle X=varprojlim X_{i}} , X = proj lim X i {displaystyle X=projlim X_{i}} .

Проективный предел можно определить в произвольной категории. Двойственное понятие — прямой предел.

История

Проективные пределы появляются в работах Александрова.

Определение

Алгебраические структуры

Для алгебраических систем проективный предел определяется следующим образом. Пусть I {displaystyle I} — направленное множество ⩽ {displaystyle leqslant } (например, множество целых чисел), и пусть каждому элементу i ∈ I {displaystyle iin I} сопоставлена алгебраическая система X i {displaystyle X_{i}} из какого-либо фиксированного класса (например, абелевых групп, модулей над заданным кольцом), а каждой паре ( i , j ) {displaystyle (i,;j)} , такой что i , j ∈ I {displaystyle i,;jin I} , i ⩽ j {displaystyle ileqslant j} , сопоставлен гомоморфизм f i j : X j → X i {displaystyle f_{ij}:X_{j} o X_{i}} , причём f i i {displaystyle f_{ii}} — тождественные отображения для любого i ∈ I {displaystyle iin I} и f i k = f i j ∘ f j k {displaystyle f_{ik}=f_{ij}circ f_{jk}} для любых i ⩽ j ⩽ k {displaystyle ileqslant jleqslant k} из I {displaystyle I} . Тогда множество-носитель проективного предела направленного семейства — это фактормножество X {displaystyle X} прямого произведения X i {displaystyle X_{i}} по транзитивному замыканию отношения эквивалентности, говорящего, что каждый элемент эквивалентен «меньшим» элементам:

lim ← ⁡ X i = { ( x i ) ∈ ∏ i ∈ I X i ∣ x i = f i j ( x j )   ∀ i ⩽ j } {displaystyle varprojlim X_{i}={igg {}(x_{i})in prod _{iin I}X_{i}mid x_{i}=f_{ij}(x_{j}) forall ileqslant j{igg }}} .

Существуют канонические проекции π i : X → X i {displaystyle pi _{i}:X o X_{i}} , выбирающие i {displaystyle i} -ю компоненту прямого произведения для каждого i ∈ I {displaystyle iin I} . Эти проекции должны являться гомоморфизмами, исходя из этого можно восстановить добавленную алгебраическую структуру на проективном пределе.

Общий случай

В произвольной категории проективный предел можно описать при помощи его универсального свойства. Пусть ( X i , f i j ) {displaystyle (X_{i},f_{ij})} — семейство объектов и морфизмов категории C, удовлетворяющее тем же требованиям, что и в предыдущем пункте. Тогда X {displaystyle X} называется проективным пределом системы ( X i , f i j ) {displaystyle (X_{i},f_{ij})} , или X = lim ← ⁡ X i {displaystyle X=varprojlim X_{i}} , если выполнены следующие условия:

  • существует такое семейство отображений π i : X → X i {displaystyle pi _{i}:X o X_{i}} , что π i = f i j ∘ π j {displaystyle pi _{i}=f_{ij}circ pi _{j}} для любых i ⩽ j {displaystyle ileqslant j} ;
  • для любого семейства отображений ψ i : Y → X i {displaystyle psi _{i}:Y o X_{i}} , произвольного объекта Y {displaystyle Y} , для которого выполнены равенства ψ i = f i j ∘ ψ j {displaystyle psi _{i}=f_{ij}circ psi _{j}} для любых i ⩽ j {displaystyle ileqslant j} , существует единственное отображение u : Y → X {displaystyle u:Y o X} , что ψ i = π i ∘ u {displaystyle psi _{i}=pi _{i}circ u} , для всех i ∈ I {displaystyle iin I} .
  • Более общо, проективный предел — это предел в категорном смысле системы ( X i , f i j ) {displaystyle (X_{i},f_{ij})} .

    Примеры

    • Целые p {displaystyle p} -адические числа являются проективным пределом последовательности Z p n {displaystyle mathbb {Z} _{p^{n}}} с естественными отображениями вида «взятие остатка» Z p n → Z p m {displaystyle mathbb {Z} _{p^{n}} o mathbb {Z} _{p^{m}}} при n ⩾ m {displaystyle ngeqslant m} .
    • Кольцо R [ [ t ] ] {displaystyle extstyle R[[t]]} формальных степенных рядов над коммутативным кольцом R {displaystyle R} — проективный предел колец R [ t ] / t n R [ t ] {displaystyle extstyle R[t]/t^{n}R[t]} , индексированных натуральными числами, с естественными проекциями R [ t ] / t n + j R [ t ] → R [ t ] / t n R [ t ] {displaystyle extstyle R[t]/t^{n+j}R[t] o extstyle R[t]/t^{n}R[t]} .
    • Канторово множество гомеоморфно проективному пределу произведений двуточечных множеств (с дискретной топологией) с проекциями на первые несколько координат в качестве отображений.
    • Проконечные группы определяются как проективные пределы конечных (дискретных) групп.
    • В категории топологических пространств проективные пределы задаются инициальной топологией на соответствующем множестве-носителе.

    Имя:*
    E-Mail:
    Комментарий: