Проективный предел

Проективный предел (обратный предел) — используемая в различных разделах математики конструкция, которая позволяет построить новый объект X {displaystyle X} по семейству (индексированному направленным множеством) однотипных объектов X i {displaystyle X_{i}} и набору отображений f i j : X j → X i {displaystyle f_{ij}:X_{j} o X_{i}} , i ⩽ j {displaystyle ileqslant j} . Один из видов пределов в теории категорий.

Для проективного предела обычно используются следующие обозначения:

X = lim ← ⁡ X i {displaystyle X=varprojlim X_{i}} , X = proj lim X i {displaystyle X=projlim X_{i}} .

Проективный предел можно определить в произвольной категории. Двойственное понятие — прямой предел.

История

Проективные пределы появляются в работах Александрова.

Определение

Алгебраические структуры

Для алгебраических систем проективный предел определяется следующим образом. Пусть I {displaystyle I} — направленное множество ⩽ {displaystyle leqslant } (например, множество целых чисел), и пусть каждому элементу i ∈ I {displaystyle iin I} сопоставлена алгебраическая система X i {displaystyle X_{i}} из какого-либо фиксированного класса (например, абелевых групп, модулей над заданным кольцом), а каждой паре ( i , j ) {displaystyle (i,;j)} , такой что i , j ∈ I {displaystyle i,;jin I} , i ⩽ j {displaystyle ileqslant j} , сопоставлен гомоморфизм f i j : X j → X i {displaystyle f_{ij}:X_{j} o X_{i}} , причём f i i {displaystyle f_{ii}} — тождественные отображения для любого i ∈ I {displaystyle iin I} и f i k = f i j ∘ f j k {displaystyle f_{ik}=f_{ij}circ f_{jk}} для любых i ⩽ j ⩽ k {displaystyle ileqslant jleqslant k} из I {displaystyle I} . Тогда множество-носитель проективного предела направленного семейства — это фактормножество X {displaystyle X} прямого произведения X i {displaystyle X_{i}} по транзитивному замыканию отношения эквивалентности, говорящего, что каждый элемент эквивалентен «меньшим» элементам:

lim ← ⁡ X i = { ( x i ) ∈ ∏ i ∈ I X i ∣ x i = f i j ( x j )   ∀ i ⩽ j } {displaystyle varprojlim X_{i}={igg {}(x_{i})in prod _{iin I}X_{i}mid x_{i}=f_{ij}(x_{j}) forall ileqslant j{igg }}} .

Существуют канонические проекции π i : X → X i {displaystyle pi _{i}:X o X_{i}} , выбирающие i {displaystyle i} -ю компоненту прямого произведения для каждого i ∈ I {displaystyle iin I} . Эти проекции должны являться гомоморфизмами, исходя из этого можно восстановить добавленную алгебраическую структуру на проективном пределе.

Общий случай

В произвольной категории проективный предел можно описать при помощи его универсального свойства. Пусть ( X i , f i j ) {displaystyle (X_{i},f_{ij})} — семейство объектов и морфизмов категории C, удовлетворяющее тем же требованиям, что и в предыдущем пункте. Тогда X {displaystyle X} называется проективным пределом системы ( X i , f i j ) {displaystyle (X_{i},f_{ij})} , или X = lim ← ⁡ X i {displaystyle X=varprojlim X_{i}} , если выполнены следующие условия:

существует такое семейство отображений π i : X → X i {displaystyle pi _{i}:X o X_{i}} , что π i = f i j ∘ π j {displaystyle pi _{i}=f_{ij}circ pi _{j}} для любых i ⩽ j {displaystyle ileqslant j} ;

для любого семейства отображений ψ i : Y → X i {displaystyle psi _{i}:Y o X_{i}} , произвольного объекта Y {displaystyle Y} , для которого выполнены равенства ψ i = f i j ∘ ψ j {displaystyle psi _{i}=f_{ij}circ psi _{j}} для любых i ⩽ j {displaystyle ileqslant j} , существует единственное отображение u : Y → X {displaystyle u:Y o X} , что ψ i = π i ∘ u {displaystyle psi _{i}=pi _{i}circ u} , для всех i ∈ I {displaystyle iin I} .

Более общо, проективный предел — это предел в категорном смысле системы ( X i , f i j ) {displaystyle (X_{i},f_{ij})} .

Примеры

• Целые p {displaystyle p} -адические числа являются проективным пределом последовательности Z p n {displaystyle mathbb {Z} _{p^{n}}} с естественными отображениями вида «взятие остатка» Z p n → Z p m {displaystyle mathbb {Z} _{p^{n}} o mathbb {Z} _{p^{m}}} при n ⩾ m {displaystyle ngeqslant m} .
• Кольцо R [ [ t ] ] {displaystyle extstyle R[[t]]} формальных степенных рядов над коммутативным кольцом R {displaystyle R} — проективный предел колец R [ t ] / t n R [ t ] {displaystyle extstyle R[t]/t^{n}R[t]} , индексированных натуральными числами, с естественными проекциями R [ t ] / t n + j R [ t ] → R [ t ] / t n R [ t ] {displaystyle extstyle R[t]/t^{n+j}R[t] o extstyle R[t]/t^{n}R[t]} .
• Канторово множество гомеоморфно проективному пределу произведений двуточечных множеств (с дискретной топологией) с проекциями на первые несколько координат в качестве отображений.
• Проконечные группы определяются как проективные пределы конечных (дискретных) групп.
• В категории топологических пространств проективные пределы задаются инициальной топологией на соответствующем множестве-носителе.