Главная
Новости
Строительство
Ремонт
Каркасный дом
Несущие конструкции
Металлические конструкции
Прочность дорог
Дорожные материалы
Стальные конструкции
Грунтовые основания
Опорные сооружения




28.11.2022


28.11.2022


27.11.2022


27.11.2022


26.11.2022


26.11.2022


26.11.2022





Яндекс.Метрика

Конциклические точки

07.08.2022

Конциклические точки (или гомоциклические точки) — точки, находящиеся на одной окружности. Три точки на плоскости, не лежащие на одной прямой, всегда лежат на одной окружности, поэтому иногда термин «конциклические» прилагают только к наборам из 4 или более точек.

Серединные перпендикуляры

В общем случае центр O окружности, на которой лежат точки P и Q, должен быть таким, чтобы расстояния OP и OQ были равны . Поэтому точка O должна лежать на срединном перпендикуляре (или на медиатрисе) отрезка PQ.. Необходимым и достаточным условием того, чтобы n различных точек лежали на одной окружности является то, что n(n − 1)/2 медиатрис отрезков, имеющих своими концами любые пары из n точек, все одновременно пересекались в одной точке, а именно: в центре O.

Вписанные многоугольники

Треугольники

Вершины каждого треугольника лежат на окружности. Окружность, проходящая через 3 вершины треугольника, называется описанной окружностью треугольника. Несколько других наборов точек, которые определяются из треугольника, также лежат на одной окружности, то есть являются конциклическими точками; см. Окружность Эйлера и Окружность Лестера.

Радиус окружности, на которой находятся множество точек, по определению, есть радиус описанной окружности любого треугольника с вершинами в любых трёх из этих точек. Если попарные расстояния между любыми тремя из этих точек a, b и c, то радиус окружности равен

R = a 2 b 2 c 2 ( a + b + c ) ( − a + b + c ) ( a − b + c ) ( a + b − c ) . {displaystyle R={sqrt {frac {a^{2}b^{2}c^{2}}{(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}}}.}

Уравнение описанной окружности для треугольника, и выражение для радиуса и координат центра окружности через декартовы координаты вершин приведены здесь.

Четырехугольники

Четырехугольник ABCD с вершинами, лежащими на одной окружности, называется вписанным; это бывает тогда и только тогда, когда ∠ C A D = ∠ C B D {displaystyle angle CAD=angle CBD} (по теореме о вписанном угле окружности), что выполняется если и только если противоположные углы четырёхугольника дополняют друг друга до 180 градусов. Вписанный четырёхугольник с последовательными сторонами a, b, c, d и полупериметром s = (a+b+c+d)/2 имеет радиус описанной окружности, равный

R = 1 4 ( a b + c d ) ( a c + b d ) ( a d + b c ) ( s − a ) ( s − b ) ( s − c ) ( s − d ) . {displaystyle R={frac {1}{4}}{sqrt {frac {(ab+cd)(ac+bd)(ad+bc)}{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}}}.}

Это выражение было получено индийским математиком Ватассери Парамешвара в XV веке.

По теореме Птолемея, четырёхугольник, заданный попарными расстояниями между его четырьмя вершинами A, B, C и D соответственно, будет вписанным тогда и только тогда, когда произведение его диагоналей равно сумме произведений противоположных сторон:

A C ⋅ B D = A B ⋅ C D + B C ⋅ A D . {displaystyle ACcdot BD=ABcdot CD+BCcdot AD.}

Если две прямые, одна из которых содержит отрезок AC, а другая содержит отрезок BD, пересекаются в одной точке «Х», то эти четыре точки A, B, C, D являются конциклическими точками тогда и только тогда, когда

A X ⋅ X C = B X ⋅ X D . {displaystyle displaystyle AXcdot XC=BXcdot XD.}

Точка пересечения X может быть как внутри, так и вне описанного круга. Эта теорема известна как теорема о степени точки.

n-угольники

В общем случае n-угольник, все вершины которого лежат на одной окружности, называется вписанным многоугольником. Многоугольник является вписанным многоугольником, если и только если все серединные перпендикуляры его сторон пересекаются в одной точке.


Имя:*
E-Mail:
Комментарий: