Главная
Новости
Строительство
Ремонт
Каркасный дом
Несущие конструкции
Металлические конструкции
Прочность дорог
Дорожные материалы
Стальные конструкции
Грунтовые основания
Опорные сооружения




17.08.2022


17.08.2022


17.08.2022


17.08.2022


16.08.2022


16.08.2022


16.08.2022





Яндекс.Метрика

Система Трахтенберга

15.07.2022

Система Трахтенберга — система устного счёта, разработанная математиком Яковом Трахтенбергом во время заключения в нацистском концлагере. Состоит из нескольких частей — методов умножения на числа от 2 до 12, метода умножения произвольных натуральных чисел и другого.

Общее умножение

Пусть даны два числа — a {displaystyle a} и b {displaystyle b} , выглядящие в десятичной записи как … a 2 a 1 a 0 {displaystyle ldots a_{2}a_{1}a_{0}} и … b 2 b 1 b 0 {displaystyle ldots b_{2}b_{1}b_{0}} . Стандартный алгоритм умножения a {displaystyle a} на b {displaystyle b} предписывает умножить a {displaystyle a} на все разряды b 0 , b 1 , b 2 , … {displaystyle b_{0},b_{1},b_{2},ldots } по очереди и сложить результаты, учитывая их сдвиг. Трахтенберг предлагает взамен считать n {displaystyle n} -ый разряд ответа как сумму переноса из предыдущего разряда и ∑ i + j = n a i b j {displaystyle sum _{i+j=n}a_{i}b_{j}} , не записывая промежуточные вычисления.

Действительно, разложим

∑ i a i 10 i ⋅ ∑ j b j 10 j {displaystyle sum _{i}a_{i}10^{i}cdot sum _{j}b_{j}10^{j}}

по дистрибутивности: слагаемые a i b j 10 i + j {displaystyle a_{i}b_{j}10^{i+j}} с i + j < n {displaystyle i+j<n} влияют на разряд 10 n {displaystyle 10^{n}} только в виде переноса, а с i + j > n {displaystyle i+j>n} — вообще не влияют.

Например, умножим 12345 на 21.

Итого, читая снизу вверх, получается 259245. Яков Трахтенберг предлагает делать вычисления, записанные в таблице выше, в уме, выписывая только результат.

Частные правила умножения

Умножение на 11

Правило: Добавь цифру к её соседу справа, не забывая про перенос через разряд.

Пример: 3425 × 11 = 37675

3425 × 11 = (0+3)(3+4)(4+2)(2+5)(5+0) = 37675

Умножение на 12

Правило: Добавь удвоенную цифру к её соседу справа, не забывая про перенос через разряд.

Пример: 2413 × 12 = 28956

2413 × 12 = (0×2+2)(2×2+4)(4×2+1)(1×2+3)(3×2+0) = 28956

Умножение на 13

Правило: Добавь утроенную цифру к её соседу справа, не забывая про перенос через разряд.

Пример: 5876 × 13 = 76388

5876 × 13 = (0×3+5)(5×3+8)(8×3+7)(7×3+6)(6×3+0) = 76388

Умножение на 14

Правило: Добавь учетверённую цифру к её соседу справа, не забывая про перенос через разряд.

Пример: 4859 × 14 = 68026

4859 × 14 = (0×4+4)(4×4+8)(8×4+5)(5×4+9)(9×4+0) = 68026

Умножение на 17

Правило: Добавь цифру, умноженную на разряд единиц, к её соседу справа, не забывая про перенос через разряд.

Пример: 5739 × 17 = 97563

5739 × 17 = (0×7+5)(5×7+7)(7×7+3)(3×7+9)(9×7+0) = 97563

Другие методы

В культуре

  • Метод упоминается в фильме «Одарённая» (2017)

Имя:*
E-Mail:
Комментарий: