ГлавнаяСистема Трахтенберга — система устного счёта, разработанная математиком Яковом Трахтенбергом во время заключения в нацистском концлагере. Состоит из нескольких частей — методов умножения на числа от 2 до 12, метода умножения произвольных натуральных чисел и другого.
Общее умножение
Пусть даны два числа — a {displaystyle a} и b {displaystyle b} , выглядящие в десятичной записи как … a 2 a 1 a 0 {displaystyle ldots a_{2}a_{1}a_{0}} и … b 2 b 1 b 0 {displaystyle ldots b_{2}b_{1}b_{0}} . Стандартный алгоритм умножения a {displaystyle a} на b {displaystyle b} предписывает умножить a {displaystyle a} на все разряды b 0 , b 1 , b 2 , … {displaystyle b_{0},b_{1},b_{2},ldots } по очереди и сложить результаты, учитывая их сдвиг. Трахтенберг предлагает взамен считать n {displaystyle n} -ый разряд ответа как сумму переноса из предыдущего разряда и ∑ i + j = n a i b j {displaystyle sum _{i+j=n}a_{i}b_{j}} , не записывая промежуточные вычисления.
Действительно, разложим
∑ i a i 10 i ⋅ ∑ j b j 10 j {displaystyle sum _{i}a_{i}10^{i}cdot sum _{j}b_{j}10^{j}}по дистрибутивности: слагаемые a i b j 10 i + j {displaystyle a_{i}b_{j}10^{i+j}} с i + j < n {displaystyle i+j<n} влияют на разряд 10 n {displaystyle 10^{n}} только в виде переноса, а с i + j > n {displaystyle i+j>n} — вообще не влияют.
Например, умножим 12345 на 21.
Итого, читая снизу вверх, получается 259245. Яков Трахтенберг предлагает делать вычисления, записанные в таблице выше, в уме, выписывая только результат.
Частные правила умножения
Умножение на 11
Правило: Добавь цифру к её соседу справа, не забывая про перенос через разряд.
Пример: 3425 × 11 = 37675
3425 × 11 = (0+3)(3+4)(4+2)(2+5)(5+0) = 37675
Умножение на 12
Правило: Добавь удвоенную цифру к её соседу справа, не забывая про перенос через разряд.
Пример: 2413 × 12 = 28956
2413 × 12 = (0×2+2)(2×2+4)(4×2+1)(1×2+3)(3×2+0) = 28956
Умножение на 13
Правило: Добавь утроенную цифру к её соседу справа, не забывая про перенос через разряд.
Пример: 5876 × 13 = 76388
5876 × 13 = (0×3+5)(5×3+8)(8×3+7)(7×3+6)(6×3+0) = 76388
Умножение на 14
Правило: Добавь учетверённую цифру к её соседу справа, не забывая про перенос через разряд.
Пример: 4859 × 14 = 68026
4859 × 14 = (0×4+4)(4×4+8)(8×4+5)(5×4+9)(9×4+0) = 68026
Умножение на 17
Правило: Добавь цифру, умноженную на разряд единиц, к её соседу справа, не забывая про перенос через разряд.
Пример: 5739 × 17 = 97563
5739 × 17 = (0×7+5)(5×7+7)(7×7+3)(3×7+9)(9×7+0) = 97563
Другие методы
В культуре
- Метод упоминается в фильме «Одарённая» (2017)