Главная
Новости
Строительство
Ремонт
Каркасный дом
Несущие конструкции
Металлические конструкции
Прочность дорог
Дорожные материалы
Стальные конструкции
Грунтовые основания
Опорные сооружения




06.08.2022


06.08.2022


05.08.2022


05.08.2022


05.08.2022


05.08.2022


05.08.2022





Яндекс.Метрика

Задача о четырёх кубах

14.07.2022

Задача о четырёх кубах заключается в отыскании всех целочисленных решений диофантова уравнения:

x 3 + y 3 + z 3 = w 3 . {displaystyle x^{3}+y^{3}+z^{3}=w^{3}.}

Следует отметить, что в то время как предложено несколько полных решений этого уравнения в рациональных числах, его полное решение в целых числах на 2018 год неизвестно.

История

Еще Платону было известно, что сумма кубов сторон пифагорейского треугольника также является кубом 3 3 + 4 3 + 5 3 = 6 3 {displaystyle 3^{3}+4^{3}+5^{3}=6^{3}} , о чем он упоминает в своем «Государстве».

Примеры целочисленных решений

Наименьшие натуральные решения:

3 3 + 4 3 + 5 3 = 6 3 {displaystyle 3^{3}+4^{3}+5^{3}=6^{3}} 1 3 + 6 3 + 8 3 = 9 3 {displaystyle 1^{3}+6^{3}+8^{3}=9^{3}} 3 3 + 10 3 + 18 3 = 19 3 {displaystyle 3^{3}+10^{3}+18^{3}=19^{3}} 7 3 + 14 3 + 17 3 = 20 3 {displaystyle 7^{3}+14^{3}+17^{3}=20^{3}} 4 3 + 17 3 + 22 3 = 25 3 {displaystyle 4^{3}+17^{3}+22^{3}=25^{3}} 18 3 + 19 3 + 21 3 = 28 3 {displaystyle 18^{3}+19^{3}+21^{3}=28^{3}} 11 3 + 15 3 + 27 3 = 29 3 {displaystyle 11^{3}+15^{3}+27^{3}=29^{3}} 2 3 + 17 3 + 40 3 = 41 3 {displaystyle 2^{3}+17^{3}+40^{3}=41^{3}} 6 3 + 32 3 + 33 3 = 41 3 {displaystyle 6^{3}+32^{3}+33^{3}=41^{3}} 16 3 + 23 3 + 41 3 = 44 3 {displaystyle 16^{3}+23^{3}+41^{3}=44^{3}}

Если разрешить отрицательные значения, то имеют место тождества:

− 1 3 + 9 3 + 10 3 = 12 3 {displaystyle -1^{3}+9^{3}+10^{3}=12^{3}} − 2 3 + 9 3 + 15 3 = 16 3 {displaystyle -2^{3}+9^{3}+15^{3}=16^{3}} − 2 3 + 15 3 + 33 3 = 34 3 {displaystyle -2^{3}+15^{3}+33^{3}=34^{3}} − 2 3 + 41 3 + 86 3 = 89 3 {displaystyle -2^{3}+41^{3}+86^{3}=89^{3}} − 3 3 + 22 3 + 59 3 = 60 3 {displaystyle -3^{3}+22^{3}+59^{3}=60^{3}}

Полные рациональные параметризации

Г. Харди и Райт (1938)
  • x = − a ( b − 3 c ) ( b 2 + 3 c 2 ) + a 4 {displaystyle x=-a(b-3c)(b^{2}+3c^{2})+a^{4}} y = a ( b + 3 c ) ( b 2 + 3 c 2 ) − a 4 {displaystyle y=quad a(b+3c)(b^{2}+3c^{2})-a^{4}} z = a 3 ( b − 3 c ) − ( b 2 + 3 c 2 ) 2 {displaystyle z=quad a^{3}(b-3c)-(b^{2}+3c^{2})^{2}} w = a 3 ( b + 3 c ) − ( b 2 + 3 c 2 ) 2 {displaystyle w=quad a^{3}(b+3c)-(b^{2}+3c^{2})^{2}}
Н. Элкис { x = d ( − ( s + r ) t 2 + ( s 2 + 2 r 2 ) t − s 3 + r s 2 − 2 r 2 s − r 3 ) , y = d ( t 3 − ( s + r ) t 2 + ( s 2 + 2 r 2 ) t + r s 2 − 2 r 2 s + r 3 ) , z = d ( − t 3 + ( s + r ) t 2 − ( s 2 + 2 r 2 ) t + 2 r s 2 − r 2 s + 2 r 3 ) , w = d ( ( s − 2 r ) t 2 + ( r 2 − s 2 ) t + s 3 − r s 2 + 2 r 2 s − 2 r 3 ) {displaystyle {egin{cases}x=d(-(s+r)t^{2}+(s^{2}+2r^{2})t-s^{3}+rs^{2}-2r^{2}s-r^{3}),y=d(t^{3}-(s+r)t^{2}+(s^{2}+2r^{2})t+rs^{2}-2r^{2}s+r^{3}),z=d(-t^{3}+(s+r)t^{2}-(s^{2}+2r^{2})t+2rs^{2}-r^{2}s+2r^{3}),w=d((s-2r)t^{2}+(r^{2}-s^{2})t+s^{3}-rs^{2}+2r^{2}s-2r^{3})end{cases}}}

Другие серии решений

Леонард Эйлер, 1740 год
  • x = 1 − ( a − 3 b ) ( a 2 + 3 b 2 ) {displaystyle x=1-(a-3b)(a^{2}+3b^{2})} y = − 1 + ( a + 3 b ) ( a 2 + 3 b 2 ) {displaystyle y=-1+(a+3b)(a^{2}+3b^{2})} z = − a − 3 b + ( a 2 + 3 b 2 ) 2 {displaystyle z=-a-3b+(a^{2}+3b^{2})^{2}} w = − a + 3 b + ( a 2 + 3 b 2 ) 2 {displaystyle w=-a+3b+(a^{2}+3b^{2})^{2}}
Линник, 1940 год
  • x = b ( a 6 − b 6 ) {displaystyle x=b(a^{6}-b^{6})} y = a ( a 6 − b 6 ) {displaystyle y=a(a^{6}-b^{6})} z = b ( 2 a 6 + 3 a 3 b 3 + b 6 ) {displaystyle z=b(2a^{6}+3a^{3}b^{3}+b^{6})} w = a ( a 6 + 3 a 3 b 3 + 2 b 6 ) {displaystyle w=a(a^{6}+3a^{3}b^{3}+2b^{6})}
  • x = a 2 ( b 6 − 7 ) + 9 a c − 3 c 2 {displaystyle x=a^{2}(b^{6}-7)+9ac-3c^{2}} y = a 2 [ b 3 ( 2 b 3 + 9 ) + 7 ] − 3 a c ( 2 b 3 + 3 ) + 3 c 2 {displaystyle y=a^{2}{ig [}b^{3}(2b^{3}+9)+7{ig ]}-3ac(2b^{3}+3)+3c^{2}} z = a 2 b [ b 3 ( b 3 + 3 ) + 2 ] − 3 a b c ( b 3 + 2 ) + 3 b c 2 {displaystyle z=a^{2}b{ig [}b^{3}(b^{3}+3)+2{ig ]}-3abc(b^{3}+2)+3bc^{2}} w = a 2 b [ b 3 ( b 3 + 6 ) + 11 ] − 3 a b c ( b 3 + 4 ) + 3 b c 2 {displaystyle w=a^{2}b{ig [}b^{3}(b^{3}+6)+11{ig ]}-3abc(b^{3}+4)+3bc^{2}}
  • x = 3 a 2 ( b 6 − 7 ) − 9 a c − c 2 {displaystyle x=3a^{2}(b^{6}-7)-9ac-c^{2}} y = 3 a 2 [ b 3 ( 2 b 3 − 9 ) + 7 ] − 3 a c ( 2 b 3 − 3 ) + c 2 {displaystyle y=3a^{2}{ig [}b^{3}(2b^{3}-9)+7{ig ]}-3ac(2b^{3}-3)+c^{2}} z = 3 a 2 b [ b 3 ( b 3 − 6 ) + 11 ] − 3 a b c ( b 3 − 4 ) + b c 2 {displaystyle z=3a^{2}b{ig [}b^{3}(b^{3}-6)+11{ig ]}-3abc(b^{3}-4)+bc^{2}} w = 3 a 2 b [ b 3 ( b 3 − 3 ) + 2 ] − 3 a b c ( b 3 − 2 ) + b c 2 {displaystyle w=3a^{2}b{ig [}b^{3}(b^{3}-3)+2{ig ]}-3abc(b^{3}-2)+bc^{2}}
Roger Heath-Brown[1], 1993 год
  • x = 9 a 4 {displaystyle x=9a^{4}} y = 3 a − 9 a 4 {displaystyle y=3a-9a^{4}} z = 1 − 9 a 3 {displaystyle z=1-9a^{3}} w = 1 {displaystyle w=1}
Морделл, 1956 год
  • x = 9 a 3 b + b 4 {displaystyle x=9a^{3}b+b^{4}} y = 9 a 4 {displaystyle y=9a^{4}} z = − b 4 {displaystyle z=-b^{4}} w = 9 a 4 + 3 a b 3 {displaystyle w=9a^{4}+3ab^{3}}
  • x = 9 a 3 b − b 4 {displaystyle x=9a^{3}b-b^{4}} y = 9 a 4 − 3 a b 3 {displaystyle y=9a^{4}-3ab^{3}} z = b 4 {displaystyle z=b^{4}} w = 9 a 4 {displaystyle w=9a^{4}}
  • x = 9 a 3 b + b 4 {displaystyle x=9a^{3}b+b^{4}} y = 9 a 3 b − b 4 {displaystyle y=9a^{3}b-b^{4}} z = 9 a 4 − 3 a b 3 {displaystyle z=9a^{4}-3ab^{3}} w = 9 a 4 + 3 a b 3 {displaystyle w=9a^{4}+3ab^{3}}
Решение, полученное методом алгебраической геометрии (en:Fermat cubic)
  • x = 3 a ( a 2 + a b + b 2 ) − 9 {displaystyle x=3aleft(a^{2}+ab+b^{2} ight)-9} y = ( a 2 + a b + b 2 ) 2 − 9 a {displaystyle y=left(a^{2}+ab+b^{2} ight)^{2}-9a} z = 3 ( a 2 + a b + b 2 ) ( a + b ) + 9 {displaystyle z=3left(a^{2}+ab+b^{2} ight)(a+b)+9} w = ( a 2 + a b + b 2 ) 2 + 9 ( a + b ) {displaystyle w=left(a^{2}+ab+b^{2} ight)^{2}+9(a+b)}
Рамануджан
  • x = 3 a 2 + 5 a b − 5 b 2 {displaystyle x=3a^{2}+5ab-5b^{2}} y = 4 a 2 − 4 a b + 6 b 2 {displaystyle y=4a^{2}-4ab+6b^{2}} z = 5 a 2 − 5 a b − 3 b 2 {displaystyle z=5a^{2}-5ab-3b^{2}} w = 6 a 2 − 4 a b + 4 b 2 {displaystyle w=6a^{2}-4ab+4b^{2}}
  • x = a 7 − 3 a 4 ( 1 + b ) + a ( 2 + 6 b + 3 b 2 ) {displaystyle x=a^{7}-3a^{4}(1+b)+a(2+6b+3b^{2})} y = 2 a 6 − 3 a 3 ( 1 + 2 b ) + 1 + 3 b + 3 b 2 {displaystyle y=2a^{6}-3a^{3}(1+2b)+1+3b+3b^{2}} z = a 6 − 1 − 3 b − 3 b 2 {displaystyle z=a^{6}-1-3b-3b^{2}} w = a 7 − 3 a 4 b + a ( 3 b 2 − 1 ) {displaystyle w=a^{7}-3a^{4}b+a(3b^{2}-1)}
  • x = − a 2 + 9 a b + b 2 {displaystyle x=-a^{2}+9ab+b^{2}} y = a 2 + 7 a b − 9 b 2 {displaystyle y=a^{2}+7ab-9b^{2}} z = 2 a 2 − 4 a b + 12 b 2 {displaystyle z=2a^{2}-4ab+12b^{2}} w = 2 a 2 + 10 b 2 {displaystyle w=2a^{2}+10b^{2}}
Неизвестный автор, 1825 год
  • x = a 9 − 3 6 {displaystyle x=a^{9}-3^{6}} y = − a 9 + 3 5 a 3 + 3 6 {displaystyle y=-a^{9}+3^{5}a^{3}+3^{6}} z = 3 3 a 6 + 3 5 a 3 {displaystyle z=3^{3}a^{6}+3^{5}a^{3}} w = 3 2 a 7 + 3 4 a 4 + 3 6 a {displaystyle w=3^{2}a^{7}+3^{4}a^{4}+3^{6}a}
Д. Лемер, 1955 год
  • x = 3888 a 10 − 135 a 4 {displaystyle x=3888a^{10}-135a^{4}} y = − 3888 a 10 − 1296 a 7 − 81 a 4 + 3 a {displaystyle y=-3888a^{10}-1296a^{7}-81a^{4}+3a} z = 3888 a 9 + 648 a 6 − 9 a 3 + 1 {displaystyle z=3888a^{9}+648a^{6}-9a^{3}+1} w = 1 {displaystyle w=1}
В. Б. Лабковский
  • x = 4 b 2 − 11 b − 21 {displaystyle x=4b^{2}-11b-21} y = 3 b 2 + 11 b − 28 {displaystyle y=3b^{2}+11b-28} z = 5 b 2 − 7 b + 42 {displaystyle z=5b^{2}-7b+42} w = 6 b 2 − 7 b + 35 {displaystyle w=6b^{2}-7b+35}
Харди и Райт
  • x = a ( a 3 − 2 b 3 ) {displaystyle x=a(a^{3}-2b^{3})} y = b ( 2 a 3 − b 3 ) {displaystyle y=b(2a^{3}-b^{3})} z = b ( a 3 + b 3 ) {displaystyle z=b(a^{3}+b^{3})} w = a ( a 3 + b 3 ) {displaystyle w=a(a^{3}+b^{3})}
  • x = a ( a 3 − b 3 ) {displaystyle x=a(a^{3}-b^{3})} y = b ( a 3 − b 3 ) {displaystyle y=b(a^{3}-b^{3})} z = b ( 2 a 3 + b 3 ) {displaystyle z=b(2a^{3}+b^{3})} w = a ( a 3 + 2 b 3 ) {displaystyle w=a(a^{3}+2b^{3})}
Г. Александров, 1972 год
  • x = 7 a 2 + 17 a b − 6 b 2 {displaystyle x=7a^{2}+17ab-6b^{2}} y = 42 a 2 − 17 a b − b 2 {displaystyle y=42a^{2}-17ab-b^{2}} z = 56 a 2 − 35 a b + 9 b 2 {displaystyle z=56a^{2}-35ab+9b^{2}} w = 63 a 2 − 35 a b + 8 b 2 {displaystyle w=63a^{2}-35ab+8b^{2}}
  • x = 7 a 2 + 17 a b − 17 b 2 {displaystyle x=7a^{2}+17ab-17b^{2}} y = 17 a 2 − 17 a b − 7 b 2 {displaystyle y=17a^{2}-17ab-7b^{2}} z = 14 a 2 − 20 a b + 20 b 2 {displaystyle z=14a^{2}-20ab+20b^{2}} w = 20 a 2 − 20 a b + 14 b 2 {displaystyle w=20a^{2}-20ab+14b^{2}}
  • x = 21 a 2 + 23 a b − 19 b 2 {displaystyle x=21a^{2}+23ab-19b^{2}} y = 19 a 2 − 23 a b − 21 b 2 {displaystyle y=19a^{2}-23ab-21b^{2}} z = 18 a 2 + 4 a b + 28 b 2 {displaystyle z=18a^{2}+4ab+28b^{2}} w = 28 a 2 + 4 a b + 18 b 2 {displaystyle w=28a^{2}+4ab+18b^{2}}
  • x = 3 a 2 + 41 a b − 37 b 2 {displaystyle x=3a^{2}+41ab-37b^{2}} y = 37 a 2 − 41 a b − 3 b 2 {displaystyle y=37a^{2}-41ab-3b^{2}} z = 36 a 2 − 68 a b + 46 b 2 {displaystyle z=36a^{2}-68ab+46b^{2}} w = 46 a 2 − 68 a b + 36 b 2 {displaystyle w=46a^{2}-68ab+36b^{2}}
  • x = − 4 a 2 + 22 a b − 9 b 2 {displaystyle x=-4a^{2}+22ab-9b^{2}} y = 36 a 2 − 22 a b + b 2 {displaystyle y=36a^{2}-22ab+b^{2}} z = 40 a 2 − 40 a b + 12 b 2 {displaystyle z=40a^{2}-40ab+12b^{2}} w = 48 a 2 − 40 a b + 10 b 2 {displaystyle w=48a^{2}-40ab+10b^{2}}
Ajai Choudhry, 1998 год
  • d x 1 = ( a 4 + 2 a 3 b + 3 a 2 b 2 + 2 a b 3 + b 4 ) + ( 2 a + b ) c 3 , {displaystyle dx_{1}=(a^{4}+2a^{3}b+3a^{2}b^{2}+2ab^{3}+b^{4})+(2a+b)c^{3},} d x 2 = − { a 4 + 2 a 3 b + 3 a 2 b 2 + 2 a b 3 + b 4 − ( a − b ) c 3 } , {displaystyle dx_{2}=-{a^{4}+2a^{3}b+3a^{2}b^{2}+2ab^{3}+b^{4}-(a-b)c^{3}},} d x 3 = c ( − a 3 + b 3 + c 3 ) , {displaystyle dx_{3}=c(-a^{3}+b^{3}+c^{3}),} d x 4 = − { ( 2 a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3 ) c + c 4 } , {displaystyle dx_{4}=-{(2a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3})c+c^{4}},}

где числа a , b , c {displaystyle a,b,c} — произвольные целые, а число d ≠ 0 {displaystyle d eq 0} выбрано таким образом, чтобы выполнялось условие ( x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ) = 1 {displaystyle (x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})=1} .

Коровьев, 2012 год
  • x = − ( 2 a 2 − 2 a b − b 2 ) c d 3 − ( a 2 − a b + b 2 ) 2 c 4 {displaystyle x=-(2a^{2}-2ab-b^{2})cd^{3}-(a^{2}-ab+b^{2})^{2}c^{4}} y = ( 2 a 2 − 2 a b − b 2 ) c 3 d + ( a 2 − a b + b 2 ) 2 d 4 {displaystyle y=quad (2a^{2}-2ab-b^{2})c^{3}d+(a^{2}-ab+b^{2})^{2}d^{4}} z = ( a 2 + 2 a b − 2 b 2 ) c 3 d − ( a 2 − a b + b 2 ) 2 d 4 {displaystyle z=quad (a^{2}+2ab-2b^{2})c^{3}d-(a^{2}-ab+b^{2})^{2}d^{4}} w = ( a 2 + 2 a b − 2 b 2 ) c d 3 − ( a 2 − a b + b 2 ) 2 c 4 {displaystyle w=quad (a^{2}+2ab-2b^{2})cd^{3}-(a^{2}-ab+b^{2})^{2}c^{4}}

где a {displaystyle a} , b , c {displaystyle b,,,c} и d {displaystyle d} — любые целые числа.


Имя:*
E-Mail:
Комментарий: