Компланарность

Компланарность (лат. com — совместность, лат. planus — плоский, ровный) — свойство трёх (или большего числа) векторов, которые, будучи приведёнными к общему началу, лежат в одной плоскости.

Свойства

Если хотя бы один из трёх векторов — нулевой, то три вектора тоже считаются компланарными. Тройка векторов, содержащая пару коллинеарных векторов, компланарна.

Смешанное произведение компланарных векторов равно нулю, это свойство — основной критерий компланарности трёх векторов. Эквивалентный критерий компланарости — линейная зависимость компланарных векторов: существуют действительные числа λ 1 {displaystyle lambda _{1}} и λ 2 {displaystyle lambda _{2}} такие, что a → = λ 1 b → + λ 2 c → {displaystyle {vec {a}}=lambda _{1}{vec {b}}+lambda _{2}{vec {c}}} для компланарных a → {displaystyle {vec {a}}} , b → {displaystyle {vec {b}}} и c → {displaystyle {vec {c}}} за исключением случаев b → = 0 → {displaystyle {vec {b}}={vec {0}}} или c → = 0 → {displaystyle {vec {c}}={vec {0}}} .

В трёхмерном пространстве три некомпланарных вектора a → {displaystyle {vec {a}}} , b → {displaystyle {vec {b}}} и c → {displaystyle {vec {c}}} образуют базис. То есть любой вектор d → ∈ R 3 {displaystyle {vec {d}}in mathbb {R} ^{3}} можно представить в виде: d → = x 1 a → + x 2 b → + x 3 c → {displaystyle {vec {d}}=x_{1}{vec {a}}+x_{2}{vec {b}}+x_{3}{vec {c}}} . Тогда { x 1 , x 2 , x 3 } {displaystyle ;{x_{1},x_{2},x_{3}}} будут координатами d → {displaystyle {vec {d}}} в данном базисе.

Обобщения

Критерии компланарности позволяют определить это понятие для векторов, понимаемых не в геометрическом смысле, а, например, как элементы произвольного векторного пространства.

Иногда компланарными называют те точки (или другие объекты), которые лежат на (принадлежат) одной плоскости. 3 точки определяют плоскость и, тем самым, всегда (тривиально) компланарны. 4 точки, в общем случае (в общем положении), некомпланарны.

Можно распространить понятие компланарности и на прямые в пространстве. Тогда параллельные или пересекающиеся прямые будут компланарны, а скрещивающиеся прямые — нет.