Главная
Новости
Строительство
Ремонт
Каркасный дом
Несущие конструкции
Металлические конструкции
Прочность дорог
Дорожные материалы
Стальные конструкции
Грунтовые основания
Опорные сооружения




24.06.2022


23.06.2022


23.06.2022


23.06.2022


21.06.2022


20.06.2022


20.06.2022





Яндекс.Метрика

Решение Керра — Ньюмена

12.06.2022

Решение Керра — Ньюмена — точное решение уравнений Эйнштейна, описывающее невозмущённую электрически заряженную вращающуюся чёрную дыру без космологического члена. Астрофизическая значимость решения неясна, так как предполагается, что встречающиеся в природе коллапсары не могут быть существенно электрически заряжены.

Форма решения и его свойства

Трёхпараметрическое семейство Керра — Ньюмена — наиболее общее решение, соответствующее конечному состоянию равновесия не возмущаемой внешними полями чёрной дыры (согласно теоремам об «отсутствии волос» для известных физических полей). В координатах Бойера — Линдквиста (Boyer — Lindquist) метрика Керра — Ньюмена даётся выражением:

d s 2 = − ( 1 − 2 M r − Q 2 Σ ) d t 2 − 2 ( 2 M r − Q 2 ) a sin 2 ⁡ θ Σ d t d φ + {displaystyle ds^{2}=-left(1-{2,Mr-Q^{2} over Sigma } ight),dt^{2}-2(2,Mr-Q^{2})a{sin ^{2} heta over Sigma },dt,dvarphi ,+} + ( r 2 + a 2 + ( 2 M r − Q 2 ) a 2 sin 2 ⁡ θ Σ ) sin 2 ⁡ θ d φ 2 + Σ Δ d r 2 + Σ d θ 2 , {displaystyle +left(r^{2}+a^{2}+{(2,Mr-Q^{2})a^{2}sin ^{2} heta over Sigma } ight)sin ^{2} heta ,{dvarphi ^{2}}+{Sigma over Delta },dr^{2}+{Sigma ,{d heta ^{2}}},}

где Σ ≡ r 2 + a 2 cos 2 ⁡ θ {displaystyle Sigma equiv r^{2}+a^{2}cos ^{2} heta } ; Δ ≡ r 2 − 2 M r + a 2 + Q 2 {displaystyle Delta equiv r^{2}-2Mr+a^{2}+Q^{2}} и a ≡ L / M {displaystyle aequiv L/M} , где L {displaystyle L} — момент импульса, нормированный на скорость света, а Q {displaystyle Q} — аналогично нормированный заряд.

Из этой простой формулы легко вытекает, что горизонт событий находится на радиусе: r + = M + M 2 − Q 2 − a 2 {displaystyle r_{+}=M+{sqrt {M^{2}-Q^{2}-a^{2}}}} , и следовательно параметры чёрной дыры не могут быть произвольными: электрический заряд и угловой момент не могут быть больше значений, соответствующих исчезновению горизонта событий. Должны выполняться следующие ограничения:

a 2 + Q 2 ⩽ M 2 {displaystyle a^{2}+Q^{2}leqslant M^{2}} — это ограничение для ЧД Керра — Ньюмена.

Если эти ограничения нарушатся, горизонт событий исчезнет, и решение вместо чёрной дыры будет описывать так называемую «голую» сингулярность, но такие объекты, согласно распространённым убеждениям, в реальной Вселенной существовать не должны (согласно пока не доказанному, но правдоподобному принципу космической цензуры). Альтернативно, под горизонтом может находиться источник сколлапсировавшей материи, которая закрывает сингулярность, и поэтому внешнее решение Керра или Керра — Ньюмена должно быть непрерывно состыковано с внутренним решением уравнений Эйнштейна с тензором энергии-импульса этой материи. Сингулярность исчезает вместе с ограничением на параметры ЧД решения Керра-Ньюмена.

Ещё в 1970 году В. Израэль рассмотрел источник решения Керра — Ньюмена в виде вращающегося диска, закрывающего этот ход. Это направление было развито К. Лопезом (C. L`opez), показавшим, что керровская сингулярность может быть закрыта вращающейся оболочкой (bubble), и в этом случае ограничение на параметры решения Керра — Ньюмена не действует. Более того, как заметил Б. Картер (1968), решение Керра — Ньюмена обладает таким же гиромагнитным отношением, как у электрона согласно уравнению Дирака. История этого направления для решения Керра — Ньюмена излагается в работе arXiv:0910.5388[hep-th].

Метрику Керра — Ньюмена (и просто Керра, но не Шварцшильда) можно аналитически продолжить через горизонт таким образом, чтобы соединить в чёрной дыре бесконечно много «независимых» пространств. Это могут быть как «другие» вселенные, так и удалённые части нашей Вселенной. В таким образом полученных пространствах есть замкнутые времениподобные кривые: путешественник может, в принципе, попасть в своё прошлое, то есть встретиться с самим собой. Вокруг горизонта событий вращающейся чёрной дыры также существует область, называемая эргосферой, практически эквивалентная эргосфере из решения Керра; находящийся там стационарный наблюдатель обязан вращаться с положительной угловой скоростью (в сторону вращения чёрной дыры).

Координаты Керра — Шильда

Наиболее простое выражение решения Керра и Керра — Ньюмена принимают в форме Керра — Шильда (КШ), в которой метрика имеет вид

g μ ν = η μ ν + 2 H k μ k ν {displaystyle g_{mu u }=eta _{mu u }+2Hk_{mu }k_{ u }} ,

где η μ ν {displaystyle eta _{mu u }} является метрикой вспомогательного пространства Минковского с декартовыми координатами x = x μ ( x ) = ( t , x , y , z ) {displaystyle x=x^{mu }(x)=(t,x,y,z)} .

В этой форме k μ ( x ) {displaystyle k^{mu }(x)} является векторным полем светоподобных направлений. Часто говорят «нулевых» направлений, поскольку k μ k μ = g μ ν k μ k ν = 0 {displaystyle k_{mu }k^{mu }=g_{mu u }k^{mu }k^{ u }=0} . Заметим, что специфическая структура формы метрики КШ гарантирует, что поле k μ ( x ) {displaystyle k^{mu }(x)} является также нулевым относительно вспомогательного плоского пространства, то есть η μ ν k μ k ν = 0 {displaystyle eta _{mu u }k^{mu }k^{ u }=0} .

Функция H имеет вид

H = M r − | Q | 2 / 2 r 2 + a 2 cos 2 ⁡ θ , {displaystyle H={frac {Mr-|Q|^{2}/2}{r^{2}+a^{2}cos ^{2} heta }},}

где r , θ {displaystyle r, heta } — это сплюснутые сфероидальные координаты Керра, которые определяются соотношением

x + i y = ( r + i a ) e i ϕ sin ⁡ θ ,   z = r cos ⁡ θ . {displaystyle x+iy=(r+ia)e^{iphi }sin heta , z=rcos heta .}

и переходят вдали от ЧД в обычные сферические координаты. В этих координатах компоненты вектора k α {displaystyle k_{alpha }} определяются из дифференциальной формы

k α d x α = d r − d t − a sin 2 ⁡ θ d ϕ {displaystyle k_{alpha }dx^{alpha }=dr-dt-asin ^{2} heta dphi }

путём сравнения коэффициентов перед дифференциалами. Это один из примеров вычисления с применением очень удобного аппарата внешних форм, который и был использован Керром для получения решения в первой и последующих работах.

В действительности, Керровская угловая координата ϕ {displaystyle phi } очень необычна, и простая форма КШ связана с тем, что вся сложность решения скрыта в форме векторного поля k μ ( x ) {displaystyle k^{mu }(x)} , которое представляет собой вихревой светоподобный поток, образующий так называемую Главную Нулевую Конгруэнцию (ГНК). В декартовых координатах компоненты векторного поля k μ {displaystyle k_{mu }} определяются формой

k μ d x μ = − d t + z r d z + r r 2 + a 2 ( x d x + y d y ) − a r 2 + a 2 ( x d y − y d x ) {displaystyle k_{mu }dx^{mu }=-dt+{frac {z}{r}}dz+{frac {r}{r^{2}+a^{2}}}(xdx+ydy)-{frac {a}{r^{2}+a^{2}}}(xdy-ydx)} .

В теории КШ для определения этого поля используются также «нулевые» (световые) декартовы координаты

u = ( z − t ) / 2 , v = ( z + t ) / 2 , ζ = ( x + i y ) / 2 , ζ ¯ = ( x − i y ) / 2 {displaystyle u=(z-t)/{sqrt {2}},quad v=(z+t)/{sqrt {2}},quad zeta =(x+iy)/{sqrt {2}},quad {ar {zeta }}=(x-iy)/{sqrt {2}}} ,

в которых конгруэнция имеет компоненты, определяемые дифференциальной формой

k μ ( ± ) d x μ = P − 1 ( d u + Y ¯ ± d ζ + Y ± d ζ ¯ − Y ± Y ¯ ( ± ) d v ) {displaystyle k_{mu }^{(pm )}dx^{mu }=P^{-1}(du+{ar {Y}}^{pm }dzeta +Y^{pm }d{ar {zeta }}-Y^{pm }{ar {Y}}^{(pm )}dv)} .

Это выражение определяется комплексной функцией Y ( x ) {displaystyle Y(x)} , которая имеет два решения Y ± ( x ) {displaystyle Y^{pm }(x)} , что даёт для векторного поля k μ ( x ) {displaystyle k^{mu }(x)} две различные конгруэнции (ГНК). Таким образом, решение для вращающихся ЧД может быть записано в двух различных формах, которые базируются на «входящей в» ЧД или «исходящей из» ЧД конгруэнции, что соответствует так называемым алгебраически специальным решениям типа D (по классификации Петрова).

Представление в форме КШ обладает рядом преимуществ, так как конгруэнция, все координаты и форма решений для электромагнитного (ЭМ) поля и метрики оказываются жёстко связанными с координатами вспомогательного плоского пространства и не зависят от положения горизонта и границы эргосферы. Более того, решения КШ однозначно продолжаются аналитически через горизонт внутрь ЧД и далее на «отрицательный» лист — область отрицательных значений сплюснутой радиальной координаты r {displaystyle r} .

В координатах Керра θ , ϕ {displaystyle heta ,phi } функция Y ( x ) {displaystyle Y(x)} имеет вид

Y ( x ) = e i ϕ tan ⁡ θ 2 {displaystyle Y(x)=e^{iphi } an {frac { heta }{2}}} .

Геометрически, она представляет собой проекцию небесной сферы с координатами θ , ϕ {displaystyle heta ,phi } на комплексную плоскость Y {displaystyle Y} , однако зависимость x → Y ( x ) {displaystyle x o Y(x)} очень нетривиальна и задаётся тесно связанной с твисторами теоремой Керра. Фактически, ГНК формирует костяк решения Керра как вихрь твисторных лучей. Функция P {displaystyle P} для покоящегося решения имеет вид

P = 1 2 ( 1 + Y Y ¯ ) {displaystyle P={frac {1}{sqrt {2}}}(1+Y{ar {Y}})} .

Подобно форме метрики КШ, все тензорные характеристики решения должны быть согласованными с векторным полем ГНК, и в частности, вектор-потенциал ЭМ поля решения Керра — Ньюмена выражается в виде

A μ = ℜ e Q r r 2 + a 2 cos 2 ⁡ θ k μ {displaystyle A^{mu }=Re e{frac {Qr}{r^{2}+a^{2}cos ^{2} heta }}k^{mu }} .

Керровская сингулярность находится под горизонтом. Она связана с сингулярностью функции H и соответствует значениям r = 0 {displaystyle r=0} и одновременно θ = 0 {displaystyle heta =0} . Она представляет собой кольцо, открывающее проход к отрицательному листу геометрии Керра, r < 0 {displaystyle r<0} , на котором значения массы и заряда, а также направления полей меняются на обратные. (Не путайте с максимальным аналитическим расширением решений через горизонт ЧД, описанным несколько ниже.) Этот второй лист («Алисово зазеркалье») долгое время был загадкой решения Керра.


Имя:*
E-Mail:
Комментарий: