Главная
Новости
Строительство
Ремонт
Каркасный дом
Несущие конструкции
Металлические конструкции
Прочность дорог
Дорожные материалы
Стальные конструкции
Грунтовые основания
Опорные сооружения




26.06.2022


26.06.2022


26.06.2022


26.06.2022


26.06.2022


25.06.2022


24.06.2022





Яндекс.Метрика

Преобразование Хаусхолдера

06.06.2022

Преобразование Хаусхолдера (оператор Хаусхолдера) — линейное преобразование H u {displaystyle H_{u}} векторного пространства V {displaystyle V} , которое описывает его отражение относительно гиперплоскости, проходящей через начало координат.

Использовалось в работе американского математика Элстона Скотта Хаусхолдера 1958 года.

Широко применяется в линейной алгебре для QR-разложения матрицы.

Определения

Пусть гиперплоскость описывается единичным вектором u {displaystyle u} , который ортогонален ей, а ⟨ ⋅ , ⋅ ⟩ {displaystyle langle cdot ,cdot angle } — скалярное произведение в V {displaystyle V} , тогда

H u ( x ) = x − 2 ⟨ x , u ⟩ u {displaystyle H_{u}(x)=x-2langle x,u angle u}

называется оператором Хаусхолдера.

Матрица Хаусхолдера имеет вид:

H = I − 2 u u † . {displaystyle H=I-2uu^{dagger }.}

В русскоязычной литературе она также называется матрицей отражения.

Свойства

  • Матрица Хаусхолдера является эрмитовой: H = H † . {displaystyle H=H^{dagger }.}
  • Матрица Хаусхолдера является унитарной: H † H = I . {displaystyle H^{dagger }H=I.}
  • Матрица Хаусхолдера является инволюцией: H 2 = I {displaystyle H^{2}=I} .
  • Преобразование Хаусхолдера имеет одно собственное значение, равное − 1 {displaystyle -1} , которое соответствует собственному вектору u {displaystyle u} , все другие собственные значения равны 1 {displaystyle 1} .
  • Определитель матрицы Хаусхолдера равен − 1 {displaystyle -1} .

Имя:*
E-Mail:
Комментарий: