Поверхность Иноуэ

Поверхность Иноуэ — это некоторые комплексные поверхности Кодайры класса VII. Поверхности названы именем Масахита Иноуэ, который привёл первые нетривиальные примеры поверхностей Кодайры класса VII в 1974.

Поверхности Иноуэ не являются кэлеровыми многообразиями.

Поверхности Иноуэ с b2 = 0

Иноуэ привёл три семейства поверхностей, S0, S+ и S−, которые являются компактными факторами C × H {displaystyle {mathbb {C} } imes H} (произведения комплексной плоскости на полуплоскость). Эти поверхности Иноуэ являются разрешимыми многообразиями. Они получаются как фактор C × H {displaystyle {mathbb {C} } imes H} по разрешимой дискретной группе, которая действует голоморфно на C × H {displaystyle {mathbb {C} } imes H} .

Все разрешимые поверхности, которые построил Иноуэ, имеют второе число Бетти b 2 = 0 {displaystyle b_{2}=0} . Эти поверхности являются поверхностями Кодайры класса VII, что означает, что для них b 1 = 1 {displaystyle b_{1}=1} и размерность Кодайры равна − ∞ {displaystyle -infty } . Как доказали Богомолов, Ли-Яу и Телеман, любая поверхностями класса VII с b2 = 0 является поверхностью Хопфа или разрешимым многообразием иноуэвого типа.

Эти поверхности не имеют мероморфных функций, а также кривых.

К. Хасегава привёл список всех комплексных двумерных разрешимых многообразий. Это комплексный тор, гиперэллиптическая поверхность, поверхность Кодайры и поверхности Иноуэ S0, S+ и S−.

Поверхности Иноуэ строятся явным образом, как описано ниже.

Поверхности типа S0

Пусть ϕ {displaystyle phi } будет целочисленной 3 × 3 матрицей с двумя комплексными собственными значениями α , α ¯ {displaystyle alpha ,{ar {alpha }}} и вещественным собственным значением c>1, при этом | α | 2 c = 1 {displaystyle |alpha |^{2}c=1} . Тогда ϕ {displaystyle phi } обратима в целых числах и определяет действие группы Z {displaystyle {mathbb {Z} }} целых чисел на Z 3 {displaystyle {mathbb {Z} }^{3}} . Пусть Γ := Z 3 ⋊ Z {displaystyle Gamma :={mathbb {Z} }^{3} times {mathbb {Z} }} . Эта группа является решёткой в разрешимой группе Ли

R 3 ⋊ R = ( C × R ) ⋊ R {displaystyle {mathbb {R} }^{3} times {mathbb {R} }=({mathbb {C} } imes {mathbb {R} }) times {mathbb {R} }} ,

действующей на C × R {displaystyle {mathbb {C} } imes {mathbb {R} }} , при этом группа действует на ( C × R ) {displaystyle ({mathbb {C} } imes {mathbb {R} })} -часть путём переносов, а на ⋊ R {displaystyle times {mathbb {R} }} -часть как ( z , r ) ↦ ( α t z , c t r ) {displaystyle (z,r)mapsto (alpha ^{t}z,c^{t}r)} .

Мы расширяем это действие на C × H = C × R × R > 0 {displaystyle {mathbb {C} } imes H={mathbb {C} } imes {mathbb {R} } imes {mathbb {R} }^{>0}} , положив v ↦ e log ⁡ c t v {displaystyle vmapsto e^{log ct}v} , где t — параметр ⋊ R {displaystyle times {mathbb {R} }} -части группы R 3 ⋊ R {displaystyle {mathbb {R} }^{3} times {mathbb {R} }} . Действие тривиально на факторе R 3 {displaystyle {mathbb {R} }^{3}} по R > 0 {displaystyle {mathbb {R} }^{>0}} . Это действие заведомо голоморфно и фактор C × H / Γ {displaystyle {mathbb {C} } imes H/Gamma } называется поверхностью Иноуэ типа S0.

Поверхность Иноуэ S0 определяется выбором целочисленной матрицы ϕ {displaystyle phi } , с вышеуказанными ограничениями. Существует счётное количество таких поверхностей.

Поверхности типа S+

Пусть n — положительное целое число, а Λ n {displaystyle Lambda _{n}} — группа верхних треугольных матриц

[ 1 x z n 0 1 y 0 0 1 ] , {displaystyle {egin{bmatrix}1&x&{frac {z}{n}}&1&y&0&1end{bmatrix}},} ,

где x, y, z — целые числа. Рассмотрим автоморфизм Λ n {displaystyle Lambda _{n}} , который обозначим ϕ {displaystyle phi } . Фактор группы Λ n {displaystyle Lambda _{n}} по её центру C — это Z 2 {displaystyle {mathbb {Z} }^{2}} . Предположим, что ϕ {displaystyle phi } действует на Λ n / C = Z 2 {displaystyle Lambda _{n}/C={mathbb {Z} }^{2}} как матрица с двумя положительными вещественными собственными значениями a, b, при этом ab = 1.

Рассмотрим разрешимую группу Γ n := Λ n ⋊ Z {displaystyle Gamma _{n}:=Lambda _{n} times {mathbb {Z} }} , с Z {displaystyle {mathbb {Z} }} , действующей на Λ n {displaystyle Lambda _{n}} , как ϕ {displaystyle phi } . Отождествляя группу верхних треугольных матриц с R 3 {displaystyle {mathbb {R} }^{3}} , мы получим действие Γ n {displaystyle Gamma _{n}} на R 3 = C × R {displaystyle {mathbb {R} }^{3}={mathbb {C} } imes {mathbb {R} }} . Определим действие Γ n {displaystyle Gamma _{n}} на C × H = C × R × R > 0 {displaystyle {mathbb {C} } imes H={mathbb {C} } imes {mathbb {R} } imes {mathbb {R} }^{>0}} с Λ n {displaystyle Lambda _{n}} действующим тривиально на R > 0 {displaystyle {mathbb {R} }^{>0}} -часть и Z {displaystyle {mathbb {Z} }} действует как v ↦ e t log ⁡ b v {displaystyle vmapsto e^{tlog b}v} . Те же аргументы, что и для поверхностей Иноуэ типа S 0 {displaystyle S^{0}} , показывают, что это действие голоморфно. Фактор C × H / Γ n {displaystyle {mathbb {C} } imes H/Gamma _{n}} называется поверхностью Иноуэ типа S + {displaystyle S^{+}} .

Поверхности типа S−

Поверхности Иноуэ типа S − {displaystyle S^{-}} определяются тем же способом, что и S+, однако два собственных значения a, b автоморфизма ϕ {displaystyle phi } , действующего на Z 2 {displaystyle {mathbb {Z} }^{2}} , имеют противоположные знаки и выполняется равенство ab = −1. Поскольку квадрат такого эндоморфизма определяет поверхность Иноуэ типа S+, поверхность Иноуэ типа S− имеет неразветвлённое двойное покрытие типа S+.

Параболические и гиперболические поверхности Иноуэ

Параболические и гиперболические поверхности Иноуэ являются поверхностями Кодайры класса VII, которые определил Ику Накамура в 1984. Они не являются разрешимыми многообразиями. Эти поверхности имеют положительное второе число Бетти. Поверхности имеют сферические оболочки и могут быть деформированы в раздутие поверхности Хопфа.

Параболические поверхности Иноуэ содержат цикл рациональных кривых с 0 самопересечений и эллиптическую кривую. Они являются частным случаем поверхностей Эноки, имеющих цикл рациональных кривых с нулём самопересечений, но без эллиптической кривой. Полуповерхность Иноуэ содержит цикл C рациональных кривых и является фактором гиперболической поверхности Иноуэ с двумя циклами рациональных кривых.

Гиперболические поверхности Иноуэ являются поверхностями класса VII0 с двумя циклами рациональных кривых.