Главная
Новости
Строительство
Ремонт
Каркасный дом
Несущие конструкции
Металлические конструкции
Прочность дорог
Дорожные материалы
Стальные конструкции
Грунтовые основания
Опорные сооружения




25.05.2022


25.05.2022


25.05.2022


24.05.2022


24.05.2022


23.05.2022


22.05.2022





Яндекс.Метрика

Поверхность Иноуэ

26.04.2022

Поверхность Иноуэ — это некоторые комплексные поверхности Кодайры класса VII. Поверхности названы именем Масахита Иноуэ, который привёл первые нетривиальные примеры поверхностей Кодайры класса VII в 1974.

Поверхности Иноуэ не являются кэлеровыми многообразиями.

Поверхности Иноуэ с b2 = 0

Иноуэ привёл три семейства поверхностей, S0, S+ и S−, которые являются компактными факторами C × H {displaystyle {mathbb {C} } imes H} (произведения комплексной плоскости на полуплоскость). Эти поверхности Иноуэ являются разрешимыми многообразиями. Они получаются как фактор C × H {displaystyle {mathbb {C} } imes H} по разрешимой дискретной группе, которая действует голоморфно на C × H {displaystyle {mathbb {C} } imes H} .

Все разрешимые поверхности, которые построил Иноуэ, имеют второе число Бетти b 2 = 0 {displaystyle b_{2}=0} . Эти поверхности являются поверхностями Кодайры класса VII, что означает, что для них b 1 = 1 {displaystyle b_{1}=1} и размерность Кодайры равна − ∞ {displaystyle -infty } . Как доказали Богомолов, Ли-Яу и Телеман, любая поверхностями класса VII с b2 = 0 является поверхностью Хопфа или разрешимым многообразием иноуэвого типа.

Эти поверхности не имеют мероморфных функций, а также кривых.

К. Хасегава привёл список всех комплексных двумерных разрешимых многообразий. Это комплексный тор, гиперэллиптическая поверхность, поверхность Кодайры и поверхности Иноуэ S0, S+ и S−.

Поверхности Иноуэ строятся явным образом, как описано ниже.

Поверхности типа S0

Пусть ϕ {displaystyle phi } будет целочисленной 3 × 3 матрицей с двумя комплексными собственными значениями α , α ¯ {displaystyle alpha ,{ar {alpha }}} и вещественным собственным значением c>1, при этом | α | 2 c = 1 {displaystyle |alpha |^{2}c=1} . Тогда ϕ {displaystyle phi } обратима в целых числах и определяет действие группы Z {displaystyle {mathbb {Z} }} целых чисел на Z 3 {displaystyle {mathbb {Z} }^{3}} . Пусть Γ := Z 3 ⋊ Z {displaystyle Gamma :={mathbb {Z} }^{3} times {mathbb {Z} }} . Эта группа является решёткой в разрешимой группе Ли

R 3 ⋊ R = ( C × R ) ⋊ R {displaystyle {mathbb {R} }^{3} times {mathbb {R} }=({mathbb {C} } imes {mathbb {R} }) times {mathbb {R} }} ,

действующей на C × R {displaystyle {mathbb {C} } imes {mathbb {R} }} , при этом группа действует на ( C × R ) {displaystyle ({mathbb {C} } imes {mathbb {R} })} -часть путём переносов, а на ⋊ R {displaystyle times {mathbb {R} }} -часть как ( z , r ) ↦ ( α t z , c t r ) {displaystyle (z,r)mapsto (alpha ^{t}z,c^{t}r)} .

Мы расширяем это действие на C × H = C × R × R > 0 {displaystyle {mathbb {C} } imes H={mathbb {C} } imes {mathbb {R} } imes {mathbb {R} }^{>0}} , положив v ↦ e log ⁡ c t v {displaystyle vmapsto e^{log ct}v} , где t — параметр ⋊ R {displaystyle times {mathbb {R} }} -части группы R 3 ⋊ R {displaystyle {mathbb {R} }^{3} times {mathbb {R} }} . Действие тривиально на факторе R 3 {displaystyle {mathbb {R} }^{3}} по R > 0 {displaystyle {mathbb {R} }^{>0}} . Это действие заведомо голоморфно и фактор C × H / Γ {displaystyle {mathbb {C} } imes H/Gamma } называется поверхностью Иноуэ типа S0.

Поверхность Иноуэ S0 определяется выбором целочисленной матрицы ϕ {displaystyle phi } , с вышеуказанными ограничениями. Существует счётное количество таких поверхностей.

Поверхности типа S+

Пусть n — положительное целое число, а Λ n {displaystyle Lambda _{n}} — группа верхних треугольных матриц

[ 1 x z n 0 1 y 0 0 1 ] , {displaystyle {egin{bmatrix}1&x&{frac {z}{n}}&1&y&0&1end{bmatrix}},} ,

где x, y, z — целые числа. Рассмотрим автоморфизм Λ n {displaystyle Lambda _{n}} , который обозначим ϕ {displaystyle phi } . Фактор группы Λ n {displaystyle Lambda _{n}} по её центру C — это Z 2 {displaystyle {mathbb {Z} }^{2}} . Предположим, что ϕ {displaystyle phi } действует на Λ n / C = Z 2 {displaystyle Lambda _{n}/C={mathbb {Z} }^{2}} как матрица с двумя положительными вещественными собственными значениями a, b, при этом ab = 1.

Рассмотрим разрешимую группу Γ n := Λ n ⋊ Z {displaystyle Gamma _{n}:=Lambda _{n} times {mathbb {Z} }} , с Z {displaystyle {mathbb {Z} }} , действующей на Λ n {displaystyle Lambda _{n}} , как ϕ {displaystyle phi } . Отождествляя группу верхних треугольных матриц с R 3 {displaystyle {mathbb {R} }^{3}} , мы получим действие Γ n {displaystyle Gamma _{n}} на R 3 = C × R {displaystyle {mathbb {R} }^{3}={mathbb {C} } imes {mathbb {R} }} . Определим действие Γ n {displaystyle Gamma _{n}} на C × H = C × R × R > 0 {displaystyle {mathbb {C} } imes H={mathbb {C} } imes {mathbb {R} } imes {mathbb {R} }^{>0}} с Λ n {displaystyle Lambda _{n}} действующим тривиально на R > 0 {displaystyle {mathbb {R} }^{>0}} -часть и Z {displaystyle {mathbb {Z} }} действует как v ↦ e t log ⁡ b v {displaystyle vmapsto e^{tlog b}v} . Те же аргументы, что и для поверхностей Иноуэ типа S 0 {displaystyle S^{0}} , показывают, что это действие голоморфно. Фактор C × H / Γ n {displaystyle {mathbb {C} } imes H/Gamma _{n}} называется поверхностью Иноуэ типа S + {displaystyle S^{+}} .

Поверхности типа S

Поверхности Иноуэ типа S − {displaystyle S^{-}} определяются тем же способом, что и S+, однако два собственных значения a, b автоморфизма ϕ {displaystyle phi } , действующего на Z 2 {displaystyle {mathbb {Z} }^{2}} , имеют противоположные знаки и выполняется равенство ab = −1. Поскольку квадрат такого эндоморфизма определяет поверхность Иноуэ типа S+, поверхность Иноуэ типа S− имеет неразветвлённое двойное покрытие типа S+.

Параболические и гиперболические поверхности Иноуэ

Параболические и гиперболические поверхности Иноуэ являются поверхностями Кодайры класса VII, которые определил Ику Накамура в 1984. Они не являются разрешимыми многообразиями. Эти поверхности имеют положительное второе число Бетти. Поверхности имеют сферические оболочки и могут быть деформированы в раздутие поверхности Хопфа.

Параболические поверхности Иноуэ содержат цикл рациональных кривых с 0 самопересечений и эллиптическую кривую. Они являются частным случаем поверхностей Эноки, имеющих цикл рациональных кривых с нулём самопересечений, но без эллиптической кривой. Полуповерхность Иноуэ содержит цикл C рациональных кривых и является фактором гиперболической поверхности Иноуэ с двумя циклами рациональных кривых.

Гиперболические поверхности Иноуэ являются поверхностями класса VII0 с двумя циклами рациональных кривых.


Имя:*
E-Mail:
Комментарий: