Главная
Новости
Строительство
Ремонт
Каркасный дом
Несущие конструкции
Металлические конструкции
Прочность дорог
Дорожные материалы
Стальные конструкции
Грунтовые основания
Опорные сооружения




18.05.2022


18.05.2022


18.05.2022


18.05.2022


18.05.2022


17.05.2022


17.05.2022





Яндекс.Метрика

Гравитационное поле Земли

14.04.2022

Гравитационное поле Земли — поле силы тяжести, обусловленное тяготением Земли и центробежной силой, вызванной её суточным вращением. Характеризуется пространственным распределением силы тяжести и гравитационного потенциала.

Для решения практических задач потенциал земного притяжения (без учёта центробежной силы и влияния других небесных тел) выражается в виде ряда

V ( r , ϕ , λ ) = G M r [ 1 + ∑ n = 1 ∞ ( a r ) n ∑ m = 0 n P n m sin ⁡ ϕ ( C n m cos ⁡ m λ + S n m sin ⁡ m λ ) ] , {displaystyle V(r,phi ,lambda )={frac {GM}{r}}left[1+sum _{n=1}^{infty }left({frac {a}{r}} ight)^{n}sum _{m=0}^{n}P_{nm}sin phi left(C_{nm}cos mlambda +S_{nm}sin mlambda ight) ight],} где r , ϕ , λ {displaystyle r,phi ,lambda } — полярные координаты, G {displaystyle G} — гравитационная постоянная, M {displaystyle M} — масса Земли, G M {displaystyle GM} = 398 603⋅109 м3·с−2, a {displaystyle a} — большая полуось Земли.

Ускорение свободного падения

В неинерциальных системах отсчёта ускорение свободного падения численно равно силе тяжести, воздействующей на объект единичной массы.

Ускорение свободного падения на поверхности Земли g (обычно произносится как «Же») варьируется от 9,780 м/с² на экваторе до 9,832 м/с² на полюсах. Стандартное («нормальное») значение, принятое при построении систем единиц, составляет g = 9,80665 м/с². Стандартное значение g было определено как «среднее» в каком-то смысле на всей Земле, оно примерно равно ускорению свободного падения на широте 45,5° на уровне моря. В приблизительных расчётах его обычно принимают равным 9,81; 9,8 или 10 м/с².

В СМИ и научно-популярной литературе g нередко используется как внесистемная единица силы тяжести, применяемая, например, для оценки величины перегрузок при тренировках лётчиков и космонавтов, а также силы тяготения на других небесных телах (см. раздел Сравнение силы тяготения на Земле с другими небесными телами).

Получение значения g из закона всемирного тяготения

Согласно закону всемирного тяготения, сила земной гравитации, действующая на тело, определяется формулой

F = G m 1 m 2 r 2 = ( G m 1 r 2 ) m 2 {displaystyle F=G{frac {m_{1}m_{2}}{r^{2}}}=left(G{frac {m_{1}}{r^{2}}} ight)m_{2}} ,

где r — расстояние между центром Земли и телом (см. ниже), m1 — масса Земли и m2 — масса тела.

Кроме того, согласно второму закону Ньютона, F = ma, где m — масса и a — ускорение,

F = m 2 g {displaystyle F=m_{2}g}

Из сопоставления двух формул видно, что

g = G m 1 r 2 {displaystyle g=G{frac {m_{1}}{r^{2}}}}

Таким образом, чтобы найти получить значение ускорения силы тяжести g на уровне моря, необходимо в формулу подставить значения гравитационной постоянной G, массы Земли (в килограммах) m1 и радиуса Земли (в метрах) r :

g = G m 1 r 2 = ( 6.67384 × 10 − 11 ) 5.9722 × 10 24 ( 6.371 × 10 6 ) 2 = 9.8196 m ⋅ s − 2 {displaystyle g=G{frac {m_{1}}{r^{2}}}=(6.67384 imes 10^{-11}){frac {5.9722 imes 10^{24}}{(6.371 imes 10^{6})^{2}}}=9.8196{mbox{m}}cdot {mbox{s}}^{-2}}

Следует отметить, что эта формула правомерна для сферического тела при допущении, что вся его масса сосредоточена в его центре. Это позволяет нам использовать величину радиуса Земли для r.

Существуют значительные неопределенности значений r и m1, а также значения гравитационной постоянной G, которую трудно точно измерить.

Если G,g и r известны, то решение обратной задачи позволит получить величину массы Земли.

Гравитационные аномалии

Гравитационные аномалии применительно к геофизике — отклонения величины гравитационного поля от расчётной, вычисленной на основе той или иной математической модели. Гравитационный потенциал земной поверхности, или геоида, обычно описывается на основании математических теорий с использованием гармонических функций. Эти отклонения могут быть вызваны различными факторами, в том числе:

  • Земля не является однородной, её плотность различна на разных участках;
  • Земля не является идеальной сферой, и в формуле используется среднее значение величины её радиуса;
  • Расчётное значение g учитывает только силу тяжести и не учитывает центробежную силу, возникающую за счёт вращения Земли;
  • При подъёме тела над поверхностью Земли значение g уменьшается («высотная поправка» (см. ниже), аномалия Бугера);
  • На Землю воздействуют гравитационные поля других космических тел, в частности, приливные силы Солнца и Луны.

Высотная поправка

Первая поправка для стандартных математических моделей, так называемая высотная аномалия, позволяет учесть изменение величины g в зависимости от высоты над уровнем моря. Используем значения массы и радиуса Земли:

r E a r t h = 6.371 × 10 6 m {displaystyle r_{mathrm {Earth} }=6.371 imes 10^{6},mathrm {m} } m E a r t h = 5.9722 × 10 24 k g {displaystyle m_{mathrm {Earth} }=5.9722 imes 10^{24},mathrm {kg} }

Поправочный коэффициент (Δg) может быть получены из соотношения между ускорением силы тяжести g и гравитационной постоянной G:

g 0 = G m E a r t h / r E a r t h 2 = 9.8196 m s 2 {displaystyle g_{0}=G,m_{mathrm {Earth} }/r_{mathrm {Earth} }^{2}=9.8196,{frac {mathrm {m} }{mathrm {s} ^{2}}}} , где: G = 6.67384 × 10 − 11 m 3 k g ⋅ s 2 . {displaystyle G=6.67384 imes 10^{-11},{frac {mathrm {m} ^{3}}{mathrm {kg} cdot mathrm {s} ^{2}}}.} .

На высоте h над поверхностью Земли gh рассчитывается по формуле:

g h = G m E a r t h / ( r E a r t h + h ) 2 {displaystyle g_{h}=G,m_{mathrm {Earth} }/left(r_{mathrm {Earth} }+h ight)^{2}}

Так, высотная поправка для высоты h может быть выражена:

Δ g h = [ G m E a r t h / ( r E a r t h + h ) 2 ] − [ G m E a r t h / r E a r t h 2 ] {displaystyle Delta g_{h}=left[G,m_{mathrm {Earth} }/left(r_{mathrm {Earth} }+h ight)^{2} ight]-left[G,m_{mathrm {Earth} }/r_{mathrm {Earth} }^{2} ight]} .

Это выражение может быть легко использовано для программирования или включения в таблицу. Упрощая и пренебрегая малыми величинами (h<<rEarth), получаем хорошее приближение:

Δ g h ≈ − G m E a r t h r E a r t h 2 × 2 h r E a r t h {displaystyle Delta g_{h}approx -,{dfrac {G,m_{mathrm {Earth} }}{r_{mathrm {Earth} }^{2}}} imes {dfrac {2,h}{r_{mathrm {Earth} }}}} .

Используя приведённые выше численные значения выше, и высоту h в метрах, получим:

Δ g h ≈ − 3.083 × 10 − 6 h {displaystyle Delta g_{h}approx -3.083 imes 10^{-6},h}

Учитывая широту местности и высотную поправку, получаем:

g ϕ , h = 9.780327 ( 1 + 0.0053024 sin 2 ⁡ ϕ − 0.0000058 sin 2 ⁡ 2 ϕ ) − 3.086 × 10 − 6 h {displaystyle g_{phi ,h}=9.780327left(1+0.0053024sin ^{2}phi -0.0000058sin ^{2}2phi ight)-3.086 imes 10^{-6}h} ,

где   g ϕ , h {displaystyle g_{phi ,h}} — ускорение свободного падения на широте   ϕ {displaystyle phi } и высоте h. Это выражение можно также представить в следующем виде:

g ϕ , h = 9.780327 [ ( 1 + 0.0053024 sin 2 ⁡ ϕ − 0.0000058 sin 2 ⁡ 2 ϕ ) − 3.155 × 10 − 7 h ] m s 2 {displaystyle g_{phi ,h}=9.780327left[left(1+0.0053024sin ^{2}phi -0.0000058sin ^{2}2phi ight)-3.155 imes 10^{-7}h ight],{frac {mathrm {m} }{mathrm {s} ^{2}}}} .

Сравнение силы тяготения на Земле с другими небесными телами

В таблице приведены значения величин ускорения свободного падения на поверхности Земли, Солнца, Луны, планет Солнечной системы, ряда спутников и астероидов. Для планет — гигантов под «поверхностью» понимается видимая поверхность, а для Солнца — верхняя граница фотосферы. Данные в таблице не учитывают эффекта центробежной силы от вращения планет и фактически означают значения искомых величин вблизи полюсов планет. Справочно указано время падения объекта на данное небесное тело со 100-метровой высоты и максимальная скорость, достигаемая при этом (сопротивление воздуха не учтено).


Имя:*
E-Mail:
Комментарий: