Главная
Новости
Строительство
Ремонт
Каркасный дом
Несущие конструкции
Металлические конструкции
Прочность дорог
Дорожные материалы
Стальные конструкции
Грунтовые основания
Опорные сооружения




17.05.2022


16.05.2022


16.05.2022


16.05.2022


13.05.2022


12.05.2022


12.05.2022





Яндекс.Метрика

Геометрическая прогрессия

25.03.2022

Геометрическая прогрессия — последовательность чисел b 1 {displaystyle b_{1}} , b 2 {displaystyle b_{2}} , b 3 {displaystyle b_{3}} , … {displaystyle ldots } (члены прогрессии), в которой каждое последующее число, начиная со второго, получается из предыдущего члена умножением его на определённое число q {displaystyle q} (знаменатель прогрессии). При этом b 1 ≠ 0 , q ≠ 0 ; b n = b n − 1 q , n ∈ N , n ⩾ 2 {displaystyle b_{1} eq 0,q eq 0;b_{n}=b_{n-1}q,nin mathbb {N} ,ngeqslant 2} .

Описание

Любой член геометрической прогрессии может быть вычислен по формуле

b n = b 1 q n − 1 . {displaystyle b_{n}=b_{1}q^{n-1}.}

Если b 1 > 0 {displaystyle b_{1}>0} и q > 1 {displaystyle q>1} , прогрессия является возрастающей последовательностью, если 0 < q < 1 {displaystyle 0<q<1} , — убывающей последовательностью, а при q < 0 {displaystyle q<0} — знакочередующейся, при q = 1 {displaystyle q=1} — стационарной.

Своё название прогрессия получила по своему характеристическому свойству:

| b n | = b n − 1 b n + 1 , {displaystyle |b_{n}|={sqrt {b_{n-1}b_{n+1}}},}

то есть модуль каждого члена равен среднему геометрическому его соседей.

Примеры

  • Последовательность площадей квадратов, где каждый следующий квадрат получается соединением середин сторон предыдущего — бесконечная геометрическая прогрессия со знаменателем 1/2. Площади получающихся на каждом шаге треугольников также образуют бесконечную геометрическую прогрессию со знаменателем 1/2, сумма которой равна площади начального квадрата.
  • Геометрической является последовательность количества зёрен на клетках в задаче о зёрнах на шахматной доске.
  • 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, 2048, 4096, 8192 — геометрическая прогрессия со знаменателем 2 из тринадцати членов.
  • 50; 25; 12,5; 6,25; 3,125; … — бесконечно убывающая геометрическая прогрессия со знаменателем 1/2.
  • 4; 6; 9 — геометрическая прогрессия из трёх элементов со знаменателем 3/2.
  • π {displaystyle pi } , π {displaystyle pi } , π {displaystyle pi } , π {displaystyle pi } — стационарная геометрическая прогрессия со знаменателем 1 (и стационарная арифметическая прогрессия с разностью 0).
  • 3; −6; 12; −24; 48; … — знакочередующаяся геометрическая прогрессия со знаменателем −2.
  • 1; −1; 1; −1; 1; … — знакочередующаяся геометрическая прогрессия со знаменателем −1.

Свойства

  • Формула знаменателя геометрической прогрессии:
q = b n + 1 b n {displaystyle q={frac {b_{n+1}}{b_{n}}}} Доказательство

По определению геометрической прогрессии.

  • Логарифмы членов геометрической прогрессии (если определены) образуют арифметическую прогрессию.
Доказательство

log ⁡ ( b n ) = log ⁡ ( b 1 q n − 1 ) = log ⁡ ( b 1 ) + ( n − 1 ) ⋅ log ⁡ ( q ) {displaystyle log(b_{n})=log(b_{1}q^{n-1})=log(b_{1})+(n-1)cdot log(q)} Формула общего члена арифметической прогрессии: a n = a 1 + ( n − 1 ) ⋅ d {displaystyle a_{n}=a_{1}+(n-1)cdot d} .
В нашем случае
a 1 = log ⁡ ( b 1 ) {displaystyle a_{1}=log(b_{1})} ,
d = log ⁡ ( q ) {displaystyle d=log(q)} .

  • b n 2 = b n − i b n + i {displaystyle b_{n}^{2}=b_{n-i}b_{n+i}} , если 1 < i < n {displaystyle 1<i<n} .
Доказательство

b n 2 = b n b n = b 1 q n − 1 b 1 q n − 1 = b 1 q n − 1 − i b 1 q n − 1 + i = b n − i b n + i . {displaystyle b_{n}^{2}=b_{n}b_{n}=b_{1}q^{n-1}b_{1}q^{n-1}=b_{1}q^{n-1-i}b_{1}q^{n-1+i}=b_{n-i}b_{n+i}.}

  • Произведение первых n членов геометрической прогрессии можно рассчитать по формуле P n = ( b 1 ⋅ b n ) n 2 . {displaystyle P_{n}=(b_{1}cdot b_{n})^{frac {n}{2}}.}
Доказательство

P n = ∏ i = 1 n b i = ∏ i = 1 n b 1 q i − 1 = b 1 n ∏ i = 1 n q i − 1 = b 1 n 2 b 1 n 2 ∏ i = 1 n q i − 1 . {displaystyle P_{n}=prod _{i=1}^{n}b_{i}=prod _{i=1}^{n}b_{1}q^{i-1}=b_{1}^{n}prod _{i=1}^{n}q^{i-1}=b_{1}^{frac {n}{2}}b_{1}^{frac {n}{2}}prod _{i=1}^{n}q^{i-1}.} Раскроем произведение ∏ i = 1 n q i − 1 {displaystyle prod _{i=1}^{n}q^{i-1}} : ∏ i = 1 n q i − 1 = q 0 ⋅ q 1 ⋅ q 2 ⋅ … ⋅ q i − 1 = q 0 + 1 + 2 + … + ( i − 1 ) . {displaystyle prod _{i=1}^{n}q^{i-1}=q^{0}cdot q^{1}cdot q^{2}cdot ldots cdot q^{i-1}=q^{0+1+2+ldots +(i-1)}.} Выражение 0 + 1 + 2 + … + ( n − 1 ) {displaystyle 0+1+2+ldots +(n-1)} представляет собой арифметическую прогрессию с a 1 = 0 {displaystyle a_{1}=0} и шагом 1. Сумма первых n членов прогрессии равна S n = n ⋅ a 1 + a n 2 = n ⋅ 0 + ( n − 1 ) 2 . {displaystyle S_{n}=ncdot {frac {a_{1}+a_{n}}{2}}=ncdot {frac {0+(n-1)}{2}}.} Откуда P n = b 1 n 2 b 1 n 2 ∏ i = 1 n q i − 1 = b 1 n 2 b 1 n 2 q n ( 0 + ( n − 1 ) ) 2 = ( b 1 b 1 q n − 1 ) n 2 = ( b 1 b n ) n 2 . {displaystyle P_{n}=b_{1}^{frac {n}{2}}b_{1}^{frac {n}{2}}prod _{i=1}^{n}q^{i-1}=b_{1}^{frac {n}{2}}b_{1}^{frac {n}{2}}q^{frac {n(0+(n-1))}{2}}=left(b_{1}b_{1}q^{n-1} ight)^{frac {n}{2}}=left(b_{1}b_{n} ight)^{frac {n}{2}}.}

  • Произведение членов геометрической прогрессии начиная с k-го члена, и заканчивая n-м членом, можно рассчитать по формуле P k , n = P n P k − 1 . {displaystyle P_{k,n}={frac {P_{n}}{P_{k-1}}}.}
Доказательство

P k , n = ∏ i = k n b i = ∏ i = 1 n b i ∏ j = 1 k − 1 b j = P n P k − 1 . {displaystyle P_{k,n}=prod _{i=k}^{n}b_{i}={frac {prod _{i=1}^{n}b_{i}}{prod _{j=1}^{k-1}b_{j}}}={frac {P_{n}}{P_{k-1}}}.}

  • Сумма n {displaystyle n} первых членов геометрической прогрессии S n = { ∑ i = 1 n b i = b 1 − b 1 q n 1 − q = b 1 ( 1 − q n ) 1 − q , if  q ≠ 1 n b 1 , if  q = 1 {displaystyle S_{n}={egin{cases}sum limits _{i=1}^{n}b_{i}={frac {b_{1}-b_{1}q^{n}}{1-q}}={frac {b_{1}left(1-q^{n} ight)}{1-q}},&{mbox{if }}q eq 1\nb_{1},&{mbox{if }}q=1end{cases}}}
Доказательство
  • Доказательство через сумму: S n = ∑ i = 1 n b 1 q i − 1 = b 1 + ∑ i = 2 n b 1 q i − 1 = b 1 + q ∑ i = 2 n b 1 q i − 2 = b 1 + q ∑ i = 1 n − 1 b 1 q i − 1 = b 1 + q ∑ i = 1 n b 1 q i − 1 − b 1 q n . {displaystyle S_{n}=sum _{i=1}^{n}b_{1}q^{i-1}=b_{1}+sum _{i=2}^{n}b_{1}q^{i-1}=b_{1}+qsum _{i=2}^{n}b_{1}q^{i-2}=b_{1}+qsum _{i=1}^{n-1}b_{1}q^{i-1}=b_{1}+qsum _{i=1}^{n}b_{1}q^{i-1}-b_{1}q^{n}.} То есть ∑ i = 1 n b 1 q i − 1 = b 1 + q ∑ i = 1 n b 1 q i − 1 − b 1 q n {displaystyle sum _{i=1}^{n}b_{1}q^{i-1}=b_{1}+qsum _{i=1}^{n}b_{1}q^{i-1}-b_{1}q^{n}} или ( 1 − q ) ∑ i = 1 n b 1 q i − 1 = b 1 − b 1 q n . {displaystyle left(1-q ight)sum _{i=1}^{n}b_{1}q^{i-1}=b_{1}-b_{1}q^{n}.} Откуда ∑ i = 1 n b 1 q i − 1 = b 1 − b 1 q n 1 − q = b 1 1 − q n 1 − q . {displaystyle sum _{i=1}^{n}b_{1}q^{i-1}={frac {b_{1}-b_{1}q^{n}}{1-q}}=b_{1}{frac {1-q^{n}}{1-q}}.}
  • Доказательство индукцией по n {displaystyle n} . Пусть S n = b 1 1 − q n 1 − q . {displaystyle S_{n}=b_{1}{frac {1-q^{n}}{1-q}}.} При n = 1 {displaystyle n=1} имеем: S 1 = ∑ i = 1 1 b i = b 1 = b 1 1 − q 1 1 − q . {displaystyle S_{1}=sum _{i=1}^{1}b_{i}=b_{1}=b_{1}{frac {1-q^{1}}{1-q}}.} При n → n + 1 {displaystyle n ightarrow n+1} имеем: S n + 1 = ∑ i = 1 n + 1 b i = ∑ i = 1 n b i + b n + 1 = b 1 1 − q n 1 − q + b 1 q n = b 1 ( 1 − q n 1 − q + q n ) = b 1 ( 1 − q n + q n − q n + 1 1 − q ) = b 1 1 − q n + 1 1 − q . {displaystyle S_{n+1}=sum _{i=1}^{n+1}b_{i}=sum _{i=1}^{n}b_{i}+b_{n+1}=b_{1}{frac {1-q^{n}}{1-q}}+b_{1}q^{n}=b_{1}left({frac {1-q^{n}}{1-q}}+q^{n} ight)=b_{1}left({frac {1-q^{n}+q^{n}-q^{n+1}}{1-q}} ight)=b_{1}{frac {1-q^{n+1}}{1-q}}.}
  • Сумма всех членов убывающей прогрессии:
| q | < 1 {displaystyle left|q ight|<1} , то b n → 0 {displaystyle b_{n} o 0} при n → + ∞ {displaystyle n o +infty } , и S n → b 1 1 − q {displaystyle S_{n} o {frac {b_{1}}{1-q}}} при n → + ∞ {displaystyle n o +infty } . Доказательство

lim n → ∞ S n = lim n → ∞ b 1 ( 1 − q n ) 1 − q = lim n → ∞ ( b 1 1 − q − b 1 q n 1 − q ) = b 1 1 − q − b 1 lim n → ∞ q n 1 − q . {displaystyle lim _{n o infty }S_{n}=lim _{n o infty }{frac {b_{1}left(1-q^{n} ight)}{1-q}}=lim _{n o infty }left({frac {b_{1}}{1-q}}-b_{1}{frac {q^{n}}{1-q}} ight)={frac {b_{1}}{1-q}}-b_{1}lim _{n o infty }{frac {q^{n}}{1-q}}.} Если | q | < 1 , {displaystyle left|q ight|<1,} то q n → 0 {displaystyle q^{n} o 0} при n → ∞ . {displaystyle n o infty .} Поэтому lim n → ∞ q n 1 − q = 0. {displaystyle lim _{n o infty }{frac {q^{n}}{1-q}}=0.} Следовательно lim n → ∞ S n = b 1 1 − q . {displaystyle lim _{n o infty }S_{n}={frac {b_{1}}{1-q}}.}


Имя:*
E-Mail:
Комментарий: