Главная
Новости
Строительство
Ремонт
Каркасный дом
Несущие конструкции
Металлические конструкции
Прочность дорог
Дорожные материалы
Стальные конструкции
Грунтовые основания
Опорные сооружения




09.12.2022


09.12.2022


09.12.2022


08.12.2022


08.12.2022


08.12.2022


08.12.2022





Яндекс.Метрика

Однородное пространство

24.03.2022

Однородное пространство неформально можно описать, как пространство, в котором все точки одинаковы, то есть существует симметрия пространства, переводящая любую точку в другую. Определение довольно общее и имеет несколько вариантов. Однородное пространство включает в себя пространства классической геометрии, такие как евклидово пространство, пространство Лобачевского, аффинное пространство, проективное пространство и другие.

Определение

Однородное пространство — множество X с выделенным транзитивным действием группы G.

  • Элементы X называются точками однородного пространства.
  • Элементы G называются симметриями пространства, а сама группа G называется группой движений или основной группой однородного пространства.
  • Подгруппа H x < G {displaystyle H_{x}<G} , фиксирующая элемент x ∈ X {displaystyle xin X} , называется стабилизатором x {displaystyle x} .
  • Если множество X наделено дополнительной структурой, например, метрикой, топологией или гладкой структурой, то обычно предполагается, что действие G сохраняет эту структуру. Например, в случае метрики действие предполагается изометрическим. Аналогично, если X является гладким многообразием, то элементы группы являются диффеоморфизмами.

Свойства

  • Все стабилизаторы являются сопряжёнными подгруппами.
  • Однородное пространство с основной группой G можно отождествить с левыми классами смежности стабилизатора H. В этом случае левое действие G на себе порождает действие на пространстве классов смежности G/H.

Примеры

Метрические пространства
  • Евклидово пространство E n {displaystyle mathbb {E} ^{n}} с действием группы изометрий; стабилизатором этого действия является группа O ( n ) {displaystyle mathrm {O} (n)} ортогональных преобразований.
  • Стандартная сфера S n {displaystyle mathbb {S} ^{n}} со следующими действиями:
    • Группы O ( n ) {displaystyle mathrm {O} (n)} ортогональных преобразований; стабилизатор этого действия изоморфен группе O ( n − 1 ) {displaystyle mathrm {O} (n-1)} .
    • Группы S O ( n ) {displaystyle mathrm {SO} (n)} — специальной ортогональной группы; стабилизатор этого действия изоморфен группе S O ( n − 1 ) {displaystyle mathrm {SO} (n-1)} .
  • Пространство Лобачевского с действием группы Лоренца.
  • Антидеситтеровское пространство: A d S n + 1 = O ( 2 , n ) / O ( 1 , n ) {displaystyle mathrm {AdS} _{n+1}=mathrm {O} (2,n)/mathrm {O} (1,n)} .
  • Грассманиан: G r ( r , n ) = O ( n ) / ( O ( r ) × O ( n − r ) ) {displaystyle mathrm {Gr} (r,n)=mathrm {O} (n)/(mathrm {O} (r) imes mathrm {O} (n-r))} .
Другие
  • Аффинное пространство (для аффинной группы, точечный стабилизатор полной линейной группы): A n = A f f ( n , K ) / G L ( n , k ) {displaystyle mathbf {A} ^{n}=mathrm {Aff} (n,K)/mathrm {GL} (n,k)} .
  • Топологические векторные пространства (в топологическом смысле).

Вариации и обобщения

  • Метрическое пространство X {displaystyle X} называется n {displaystyle n} точечно однородным, если изометрического отображения n {displaystyle n} -точечно подмножества K ⊂ X {displaystyle Ksubset X} в X {displaystyle X} можно продолжить до изометрии X {displaystyle X}
  • Аналогично определяются конечно однородные, счётно однородные, компактно однородные пространства и так далее.
  • Двойное фактор-пространство G / / H {displaystyle G/!/H} — фактор группы G {displaystyle G} по подгруппе H < G × G {displaystyle H<G imes G} , действующей на G {displaystyle G} справа и слева.
  • Предоднородные векторные пространства — конечномерное векторное пространство V с действием алгебраической группы G такое, что существует орбита G, открытая в топологии Зарисского (а потому плотная). Примером является группа GL(1), действующая в одномерном пространстве. Идею предоднородных векторных пространств предложил Микио Сато.

Имя:*
E-Mail:
Комментарий: