Скручивание Дена — определенный тип гомеоморфизма поверхности на себя.
Построение
Пусть c является простой замкнутой кривой на замкнутой, ориентированной поверхности S. Обозначим через A трубчатую окрестность c. Окрестность A является кольцом, в частности, её можно параметризовать парой чисел (s, t), где s — комплексное число с единичным модулем, а t лежит в вещественном интервале (0,1).
Пусть f есть отображение S на себя, которое тождественно вне A, а на A записывается в вышеприведённых координатах как
f ( s , t ) = ( s ⋅ e 2 π i t , t ) . {displaystyle f(s,t)=(s{cdot }e^{2pi it},t).}Тогда f — скручивание Дена вдоль кривой c.
Свойства
- С точностью до изотопии, композициями скручиваний Дена можно получить все гомеоморфизмы поверхности на себя, сохраняющие ориентацию.
- Иначе говоря, скручивания Дена дают систему образующих группы классов преобразований поверхности.
- Более того, на поверхности рода g > 1 {displaystyle g>1} можно ограничиться 2 g + 1 {displaystyle 2g+1} кривой.
Вариации и обобщения
- Скручивания Дена могут также быть определены на неориентированной поверхности S, при условии, что кривая с не является дезориентрующей.