Главная
Новости
Строительство
Ремонт
Каркасный дом
Несущие конструкции
Металлические конструкции
Прочность дорог
Дорожные материалы
Стальные конструкции
Грунтовые основания
Опорные сооружения




28.06.2022


27.06.2022


26.06.2022


26.06.2022


26.06.2022


26.06.2022


26.06.2022





Яндекс.Метрика

Тождество Якоби

06.03.2022

Тождество Якоби — математическое тождество на билинейную операцию [ ⋅ , ⋅ ] : V × V → V {displaystyle [cdot ,cdot ]colon V imes V ightarrow V} на линейном пространстве V {displaystyle V} . Имеет следующий вид:

∀ x , y , z ∈ V : [ [ x , y ] , z ] + [ [ y , z ] , x ] + [ [ z , x ] , y ] = 0 {displaystyle forall ,x,y,zin Vcolon [[x,y],z]+[[y,z],x]+[[z,x],y]=0}

Названо в честь Карла Густава Якоби.

Понятие тождества Якоби обычно связано с алгебрами Ли.

Примеры

Следующие операции удовлетворяют тождеству Якоби:

  • Коммутатор операторов
  • коммутатор в алгебре Ли
  • Скобки Ли векторных полей
  • Скобки Пуассона функций на симплектическом многообразии
  • Векторное произведение векторов

Значение в алгебрах Ли

Если умножение [ ⋅ , ⋅ ] {displaystyle [cdot ,cdot ]} антикоммутативно, то тождеству Якоби можно придать несколько другой вид, используя присоединённое представление алгебры Ли:

a d x : y ↦ [ x , y ] {displaystyle mathrm {ad} _{x}colon ymapsto [x,y]}

Записав тождество Якоби в форме

[ x , [ y , z ] ] = [ y , [ x , z ] ] + [ [ x , y ] , z ] {displaystyle [x,[y,z]]=[y,[x,z]]+[[x,y],z]}

получим, что оно равносильно условию выполнения правила Лейбница для оператора a d x {displaystyle mathrm {ad} _{x}} :

a d x [ y , z ] = [ a d x y , z ] + [ y , a d x z ] {displaystyle mathrm {ad} _{x},[y,z]=[mathrm {ad} _{x},y,z]+[y,mathrm {ad} _{x},z]}

Таким образом, a d x {displaystyle mathrm {ad} _{x}} — это дифференцирование в алгебре Ли. Любое такое дифференцирование называется внутренним.

Тождеству Якоби также можно придать вид

a d [ x , y ] = [ a d x , a d y ] = a d x a d y − a d y a d x {displaystyle mathrm {ad} _{[x,y]}=[mathrm {ad} _{x},mathrm {ad} _{y}]=mathrm {ad} _{x}mathrm {ad} _{y}-mathrm {ad} _{y}mathrm {ad} _{x}}

Это означает, что оператор a d {displaystyle mathrm {ad} } задаёт гомоморфизм данной алгебры Ли в алгебру Ли её дифференцирований.

Градуированное тождество Якоби

Пусть Ω = ⊕ i Ω i {displaystyle Omega =oplus _{i}Omega ^{i}} — градуированная алгебра, [ ⋅ , ⋅ ] {displaystyle [cdot ,cdot ]} — умножение в ней. Говорят, что умножение в Ω {displaystyle Omega } удовлетворяет градуированному тождеству Якоби, если для любых элементов ω i ∈ Ω i {displaystyle omega _{i}in Omega ^{i}}

[ ω m , [ ω k , ω l ] = [ [ ω m , ω k ] , ω l ] + ( − 1 ) m k [ ω k , [ ω m , ω l ] {displaystyle [omega _{m},[omega _{k},omega _{l}]=[[omega _{m},omega _{k}],omega _{l}]+(-1)^{mk}[omega _{k},[omega _{m},omega _{l}]}

Примеры

  • алгебра внешних форм;
  • алгебра дифференцирований дифференциальных форм;
  • алгебра тангенциальнозначных форм с умножением, задаваемым FN-скобками или NR-скобками;

Имя:*
E-Mail:
Комментарий: