Главная
Новости
Статьи
Ремонт
Каркасный дом
Несущие конструкции
Металлические конструкции
Прочность дорог
Дорожные материалы
Стальные конструкции
Грунтовые основания
Опорные сооружения




22.01.2022


21.01.2022


18.01.2022


17.01.2022


17.01.2022


16.01.2022


15.01.2022





Яндекс.Метрика

Критерий Сильвестра

05.01.2022

Критерий Сильвестра определяет, является ли симметричная квадратная матрица положительно (отрицательно, неотрицательно) определённой.

Пусть квадратичная форма имеет в каком-то базисе матрицу

A = | | a 11 a 12 … a 1 n a 21 a 22 … a 2 n … … … … a n 1 a n 2 … a n n | | . {displaystyle A=left|{egin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&ldots &a_{1n}a_{21}&a_{22}&ldots &a_{2n}ldots &ldots &ldots &ldots a_{n1}&a_{n2}&ldots &a_{nn}end{vmatrix}} ight|.}

Тогда эта форма положительно определена тогда и только тогда, когда все её угловые миноры Δ i {displaystyle Delta _{i}} размеров i × i, где i пробегает все целые числа от 1 до n включительно, положительны; а отрицательно определена тогда и только тогда, когда знаки Δ i {displaystyle Delta _{i}} чередуются, причём Δ 1 < 0 {displaystyle Delta _{1}<0} . Здесь угловыми минорами матрицы A {displaystyle A} называются определители вида

Δ 1 = a 11 ,   Δ 2 = | a 11 a 12 a 21 a 22 | , … , Δ i = | a 11 a 12 … a 1 i a 21 a 22 … a 2 i … … … … a i 1 a i 2 … a i i | , … {displaystyle Delta _{1}=a_{11}, Delta _{2}={egin{vmatrix}a_{11}&a_{12}a_{21}&a_{22}end{vmatrix}},ldots ,Delta _{i}={egin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&ldots &a_{1i}a_{21}&a_{22}&ldots &a_{2i}ldots &ldots &ldots &ldots a_{i1}&a_{i2}&ldots &a_{ii}end{vmatrix}},ldots }

Доказательство

Критерий положительной определённости квадратичной формы

Критерий гласит, что

Его доказательство основано на методе Якоби приведения квадратичной формы к каноническому виду.

Доказательство необходимости

Пусть q ( x ) {displaystyle q(x)} — положительно определённая квадратичная форма. Тогда j-й диагональный элемент положителен, так как q ( e j ) > 0 {displaystyle q(e_{j})>0} , где e j {displaystyle e_{j}} — вектор со всеми нулевыми координатами, кроме j-й. При приведении матрицы к каноническому виду в силу невырожденности угловых миноров строки не нужно будет переставлять, поэтому в итоге знаки главных миноров матрицы не изменятся. А в каноническом виде диагональные элементы положительны, а значит и миноры положительны; следовательно, (так как их знак не менялся при преобразованиях) у положительно определённой квадратичной формы в любом базисе главные миноры матрицы положительны.

Доказательство достаточности

Дана симметричная квадратичная форма, все угловые миноры которой положительны. Рассмотрим сначала первый диагональный элемент в каноническом виде: его знак определяется первым угловым минором. Далее, знак числа Δ i + 1 / Δ i {displaystyle Delta _{i+1}/Delta _{i}} определяет знак (i + 1)-го элемента в диагональном виде. Получается, что в каноническом виде все элементы на диагонали положительные, то есть квадратичная форма определена положительно.

Критерий отрицательной определённости квадратичной формы

Доказательство сводится к предыдущему случаю, так как матрица A {displaystyle A} является отрицательно определённой тогда и только тогда, когда матрица − A {displaystyle -A} является положительно определённой. При замене матрицы A {displaystyle A} на противоположную главные миноры нечётного порядка меняют знак, а главные миноры чётного порядка остаются такими же в силу основных свойств определителей.

Критерий полуопределённости квадратичной формы

Для положительно полуопределённых матриц критерий звучит подобным образом: форма положительно полуопределена тогда и только тогда, когда все главные миноры неотрицательны. Здесь главным минором называется определитель подматрицы, симметричной относительно главной диагонали, то есть подматрицы, у которой множества задающих её номеров столбцов и строк одинаковые (напр. 1-й и 3-й столбцы и строки, на пересечении которых расположена матрица).

Неотрицательности только угловых миноров недостаточно, что следует из контрпримера ( 0 0 0 − 1 ) {displaystyle {egin{pmatrix}0&0&-1end{pmatrix}}} : Δ 1 = Δ 2 = 0 ⩾ 0 {displaystyle Delta _{1}=Delta _{2}=0geqslant 0} , но форма не является положительно полуопределённой.


Имя:*
E-Mail:
Комментарий: