Главная
Бета-распределение в теории вероятностей и статистике — двухпараметрическое семейство абсолютно непрерывных распределений. Используется для описания случайных величин, значения которых ограничены конечным интервалом.
Определение
Пусть распределение случайной величины X {displaystyle X} задаётся плотностью вероятности f X {displaystyle f_{X}} , имеющей вид:
f X ( x ) = 1 B ( α , β ) x α − 1 ( 1 − x ) β − 1 {displaystyle f_{X}(x)={frac {1}{mathrm {B} (alpha ,eta )}},x^{alpha -1}(1-x)^{eta -1}} ,где
- α , β > 0 {displaystyle alpha ,eta >0} произвольные фиксированные параметры, и
- B ( α , β ) = ∫ 0 1 x α − 1 ( 1 − x ) β − 1 d x {displaystyle mathrm {B} (alpha ,eta )=int limits _{0}^{1}x^{alpha -1}(1-x)^{eta -1},dx} — бета-функция.
Тогда случайная величина X {displaystyle X} имеет бета-распределение. Пишут: X ∼ B ( α , β ) {displaystyle X!sim mathrm {B} (alpha ,eta )} .
Форма графика
Форма графика плотности вероятности бета-распределения зависит от выбора параметров α {displaystyle alpha } и β {displaystyle eta } .
- α < 1 , β < 1 {displaystyle alpha <1, eta <1} — график выпуклый и уходит в бесконечность на границах (красная кривая);
- α < 1 , β ≥ 1 {displaystyle alpha <1, eta geq 1} или α = 1 , β > 1 {displaystyle alpha =1, eta >1} — график строго убывающий (синяя кривая)
- α = 1 , β > 2 {displaystyle alpha =1, eta >2} — график строго выпуклый;
- α = 1 , β = 2 {displaystyle alpha =1, eta =2} — график является прямой линией;
- α = 1 , 1 < β < 2 {displaystyle alpha =1, 1<eta <2} — график строго вогнутый;
- α = 1 , β = 1 {displaystyle alpha =1, eta =1} график совпадает с графиком плотности стандартного непрерывного равномерного распределения;
- α = 1 , β < 1 {displaystyle alpha =1, eta <1} или α > 1 , β ≤ 1 {displaystyle alpha >1, eta leq 1} — график строго возрастающий (зелёная кривая);
- α > 2 , β = 1 {displaystyle alpha >2, eta =1} — график строго выпуклый;
- α = 2 , β = 1 {displaystyle alpha =2, eta =1} — график является прямой линией;
- 1 < α < 2 , β = 1 {displaystyle 1<alpha <2, eta =1} — график строго вогнутый;
- α > 1 , β > 1 {displaystyle alpha >1, eta >1} — график унимодальный (пурпурная и чёрная кривые)
В случае, когда α = β {displaystyle alpha =eta } , плотность вероятности симметрична относительно 1 / 2 {displaystyle 1/2} (красная и пурпурная кривые), то есть
f X ( 1 / 2 − x ) = f X ( 1 / 2 + x ) , x ∈ [ 0 , 1 / 2 ] {displaystyle f_{X}(1/2-x)=f_{X}(1/2+x),;xin [0,1/2]} .Моменты
Математическое ожидание и дисперсия случайной величины X {displaystyle X} , имеющей бета-распределение, имеют вид:
E [ X ] = α α + β {displaystyle mathbb {E} [X]={frac {alpha }{alpha +eta }}} , D [ X ] = α β ( α + β ) 2 ( α + β + 1 ) {displaystyle mathrm {D} [X]={frac {alpha eta }{(alpha +eta )^{2}(alpha +eta +1)}}} .Связь с другими распределениями
- Бета-распределение является распределением Пирсона типа I.
- Стандартное непрерывное равномерное распределение является частным случаем бета-распределения: U [ 0 , 1 ] ≡ B ( 1 , 1 ) {displaystyle mathrm {U} [0,1]equiv mathrm {B} (1,1)} .
- Бета-распределение широко используется в байесовской статистике, так как оно является сопряжённым априорным распределением для распределения Бернулли, биномиального и геометрического распределений.
- Если X , Y {displaystyle X,Y} — независимые гамма-распределённые случайные величины, причём X ∼ Γ ( α , 1 ) {displaystyle Xsim mathrm {Gamma } (alpha ,1)} , а Y ∼ Γ ( β , 1 ) {displaystyle Ysim mathrm {Gamma } (eta ,1)} , то X X + Y ∼ B ( α , β ) {displaystyle {frac {X}{X+Y}}sim mathrm {B} (alpha ,eta )} .