ГлавнаяОсновные предпосылки — идеализированный упругопластический материал, гипотеза плоских сечений и малые деформации — позволяют выразить кривизну изгибаемого стержня в зависимости от изгибающих моментов M/Mpl. Для однородного сечения с двумя осями симметрии, шириной d и высотой 2yel его упругой части кривизна стержня выражается формулой
Зависимость кривизны v'' от изгибающего момента M выражена в виде кривой А на рис. 1.13 (без упрочнения), из которой следует, что при M=Mpl кривизна возрастает до бесконечности.
При определении прогибов статически неопределимых конструкций обычно применяют методы, основанные на предпосылке сосредоточения пластических деформаций только в сечении пластического шарнира. Прогибы конструкций, вычисленные на основе этого предположения, при Mel≤M≤Mpl меньше, чем вычисленные точным расчетом.
Приведенные предпосылки позволяют определить прогиб в любой стадии упругопластической работы конструкции, вплоть до образования последнего пластического шарнира. Появление этого шарнира соответствует образованию в конструкции пластического механизма разрушения, после чего прогиб становится неопределенным.
Путем интегрирования функции v'' по формуле (7.1) сначала определяются углы поворота а затем и прогибы v стержня. Эта задача сравнительно просто решается для статически определимых конструкций; для статически неопределимых систем расчет усложняется в результате перераспределения изгибающих моментов.
Для определенной конструкции и заданной нагрузки расчет можно выполнить путем двукратного интегрирования или численными методами, как, например, предложено в работах.
В случае использования пластической несущей способности (M=Mpl) аналитическое решение показывает, что задача сводится к решению несобственного интеграла, так как функция v'' в месте расположения пластического шарнира имеет особую точку. Поскольку такой интеграл может иметь конечное или бесконечное значения, предельные прогибы необходимо определять для конкретной конструкции и заданной схемы нагружения.
Интегрируя функцию v'', находим угол поворота в сечении z:
Пусть в сечении с в области 0, z находится особая точка функции v''. В этом случае угол поворота v' определяется с помощью вычисления пределов интегралов по формуле
Функцию под квадратным корнем в наиболее частых случаях нагружения (чистым изгибом, сосредоточенной силой, равномерно распределенной нагрузкой) можно представить в виде A0 + A1z + A2z2 и затем определить пределы интегралов простейших функций. Если пределы являются определенными, то углы поворота и, следовательно, прогибы также конечны.
Из рис. 7.1 видно, что при М/Мpl = 1,0 прогибы равны бесконечности при чистом изгибе простых балок и консолей, а также при равномерной нагрузке простых балок.
Условие конечности прогиба или угла поворота можно установить из анализа подинтегральной функции несобственного интеграла.
Пусть в уравнении (7.3) с=0; при этом пластический шарнир образуется в начальном сечении балки. Обозначим
Физический смысл этого математического результата приведен в работе А.Р. Ржаницына, где последнее выражение предела (7.6) представлено в виде квадрата дроби
Поскольку в левой части выражения (7.7) имеем неопределенность, А.Р. Ржаницын дважды применил правило Лопиталя, в результате чего получил
Таким образом, условием для конечного значения предельного угла поворота v' и, следовательно, предельного прогиба v является равенство бесконечности значения равномерной нагрузки в месте расположения пластического шарнира. Этому условию удовлетворяет действие сосредоточенной нагрузки на бесконечно малой длине балки, т.е. приложение сосредоточенной силы, активной или реактивной.
Этот результат можно проиллюстрировать на примере прогиба простой балки и консоли при равномерной нагрузке. Из рис. 7.1 видно, что при M/Mpl=1,0 прогиб простой балки равен бесконечности, в то время как для консоли, в которой в месте расположения пластического шарнира действует реакция, прогиб имеет конечное значение.
В литературе рассмотрены также случаи упругопластического изгиба балок из стали с различными верхним и нижним пределами текучести (см. рис. 1.3, с) и из стали с упрочнением.
Точно так же, как для идеального упруго пластического материала, для различных пределов текучести кривизну в упругопластическом состоянии сечения можно выразить формулой
Расстояние уel, как это следует из формулы (3.8), является функцией вида
Подставляя его в формулу (7.10), получим дифференциальное уравнение для определения прогиба.
Для предельного упругого состояния можно записать
Для предельного пластического состояния соответственно имеем
При определении прогиба элемента, как и при определении несущей способности сечения, в зависимости от отдельных напряженных состояний необходимо различать значения пределов текучести. Более подробно этот вопрос рассмотрен в работе.
Кривизна балки из стали с упрочнением может быть выражена формулой
В результате двукратного интегрирования выражения (7.14) получим прогиб.
Обзор данных по рассматриваемому вопросу приведен в работе. Отметим два наиболее интересных результата.
При различных пределах текучести зависимость M-v'' после достижения значения v''=Mel/EI (где Mel вычислен при верхнем пределе текучести) может иметь нисходящий характер, т.е. кривизна стержня может возрастать при уменьшающейся нагрузке.
Для сталей с упрочнением материала интенсивность роста прогибов V при M/Mel>1 уменьшается; в этом случае полная текучесть сечения не может быть достигнута и при больших нагрузках.