ГлавнаяДля определения предельной нагрузки используются статическая, кинематическая и объединенная теоремы при приспособляемости конструкций.
Статическая теорема о нижнем пределе предельной пластической нагрузки приспособляемости. Если можно найти некоторое статически допустимое распределение остаточных изгибающих моментов по всей конструкции, к которому можно добавить максимальные и минимальные значения упругих моментов, соответствующих наибольшим значениям нагрузки P, так что ни в одном поперечном сечении не будет превышен предельный пластический момент Mpl, то при этом нагрузка P меньше или равна предельной пластической нагрузке Ppl,0 приспособляемости.
Кинематическая теорема о верхнем пределе предельной пластической нагрузки. Нагрузка P, соответствующая любому предполагаемому механизму прогрессивного разрушения, должна быть больше или равна предельной пластической нагрузке Ppl,0 приспособляемости.
Указанные теоремы определяют нижний и верхний пределы предельной пластической нагрузки Ppl,0. Если одновременно выполнены условия обеих теорем, то соответствующая нагрузка является предельной пластической нагрузкой Ppl,0, что можно сформулировать в одной теореме.
Объединенная теорема, или теорема единственности. Если при определенной нагрузке P можно найти такое статически допустимое распределение остаточных моментов, что при добавлении к остаточным моментам в каждом сечении максимальных и минимальных упругих изгибающих моментов от нагрузки P ни в одном сечении не будет превышен предельный пластический момент Mpl, однако он будет достигнут в достаточном для образования механизма разрушения числе поперечных сечений при одновременном возникновении пластических шарниров во всех этих сечениях, то эта нагрузка P равна предельной пластической нагрузке Рpl,0 приспособляемости.
Примеры. Неразрезная балка постоянного сечения, загруженная сосредоточенными силами. Балка, на которую действует повторяющаяся нагрузка (рис. 6.8), имеет постоянное сечение с коэффициентом формы сечения при изгибе f=Z/W=1,15.
Собственные напряжения в балке не учитываются. Принимаем отдельные силы P как кратковременные нагрузки, для которых выполняется условие
Мгновенное исчерпание несущей способности при однократном превышении нагрузки в крайних и среднем пролетах произойдет при нагрузке Рpl = 8 Mpl/l. Поскольку внешняя нагрузка в этом случае представляет собой предельную расчетную нагрузку (n = 1,3), то с учетом отношений (6.35) нормативная нагрузка выражается неравенством
На основе критериев для повторяющихся нагрузок установим с помощью расчета условия для нормативных нагрузок, которые будем принимать в качестве эксплуатационных расчетных нагрузок (n = 1,0) .
Статический метод сил. Неизвестные вертикальные реакции (см. рис. 6.8) обозначим V1 и V3. Если нагрузка действует только в среднем пролете (рис. 6.8, а), то статические условия равновесия имеют вид:
Исключая из них реакции, получим соотношения между изгибающими моментами:
Эти соотношения выражают также зависимости между остаточными изгибающими мoментами для нагрузки P=0, которые имеют вид
Если нагрузка действует только в крайних пролетах (рис. 6.8, b), то статические условия равновесия имеют вид
Соотношения между изгибающими моментами выражаются формулами
Соотношения между остаточными изгибающими моментами, определенными по формуле (6.41), имеют такой же вид как и в выражении (6.39).
Изгибающие моменты в балке при неограниченной упругости приведены в табл. 6.1. В первых трех строках указаны результаты однократного возможного нагружения. Экстремальные значения изгибающих моментов с учетом их знаков приведены в четвертой и пятой строках, а их разность — в последней строке.
В случае приспособления балки к действию принятой нагрузки должны выполняться условия (6.29) и (6.30); при этом статическую допустимость распределения остаточных изгибающих моментов M0 выражает уравнение (6.39). Эти условия допускают появление в ряде сечений пластических шарниров таким образом, чтобы образовался пластический механизм согласно объединенной теореме для прогрессивного разрушения.
Решение для крайних пролетов. Предполагаем пластические шарниры в сечениях 2 и 3 с действующими в них моментами М2=+Мpl и М3=-M-pl.
Остаточные изгибающие моменты, согласно условиям (6.29) и (630), выражаются формулами
При подстановке этих значений в первое уравнение системы (6.39) получим
Тогда остаточные изгибающие моменты (6.42) будут равны
Условия приспособляемости балки (6.29) и (630) для нагрузки P будут выполнены, так как удовлетворяются условия:
Таким образом, можно утверждать, что предельная нагрузка приспособляемости конструкции
Решение для среднего пролета. Предполагаем пластические шарниры в сечениях 3 и 4, в которых М3=-Mpl, M4=+Mpl.
Остаточные изгибающие моменты, согласно формулам (6.29) и (6.30), равны
Сила, определенная по второму уравнению системы (6.39), равна
Результат соответствует значению предельной пластической нагрузки для мгновенной потери несущей способности; оба экстремальных момента в уравнениях (6.49) получены при нагружении среднего пролета.
С учетом формулы (6.50) остаточные изгибающие моменты (6.49) будут равны:
Из первого уравнения системы (6.39) имеем:
Условия приспособляемости балки:
Отсюда следует, что одно условие для сечения 2 не выполнено. Поэтому значение нагрузки (6.50) не является предельной пластической нагрузкой приспособляемости.
Решение для всех пролетов. Предполагаем пластические шарниры во всех экстремально нагруженных сечениях; при этом M2=+Mpl, M3=-Mpl и М4=+Mpl.
Остаточные изгибающие моменты удовлетворяют совместным зависимостям (6.42) и (6.49). Когда они достигнут значений, соответствующих условиям (6.39), получим два самостоятельных уравнения для определения сил, в результате решения которых находим выражения (6.43) и (6.50). Из этого следует, что раздельное исследование пролетов является правильным.
Метод выравнивания экстремальных изгибающих моментов. На рис. 6.9 сплошными линиями показаны изгибающие моменты от двух возможных нагружений крайних и среднего пролетов. Приняв М2=+Mpl и М3=-Mpl выполним выравнивание абсолютных значений изгибающих моментов М2 от нагружения крайнего пролета и M3 от нагружения среднего пролета путем перемещения базовой линии. Положение базовой линии можно обозначить с учетом отношений (6.39) (штриховая линия), где перемещение sPl является пока неизвестным.
Из условия выравнивания абсолютных значений экстремальных изгибающих моментов должно быть выполнено равенство
Поскольку абсолютные значения обоих выравненных моментов с учетом принятого предположения равны Mpl, можно записать
Кинематический метод. Как известно, метод основан на принципе виртуальной работы. В рассматриваемом случае исследуется виртуальная работа остаточных изгибающих моментов на виртуальных деформациях пластического механизма (рис. 6.10).
При нагружении крайнего пролета остаточные изгибающие моменты выражаются уравнениями (6.42), а виртуальный пластический механизм показан на рис. 6.10, b.
Как и ранее, виртуальные повороты в пластических шарнирах считаем положительными, если они происходят при действии положительных изгибающих моментов.
При пластических деформациях не изменяется кривизна оси балки, за исключением сечений, в которых находятся пластические шарниры, поэтому соответствующая часть виртуальной работы ∫(ММ/EI)ds равна нулю. Виртуальная работа внешней нагрузки на виртуальных перемещениях равна нулю, поскольку сама нагрузка равна нулю. В местах опорных реакций виртуальные перемещения также нулевые. He равна нулю только виртуальная работа остаточных изгибающих моментов M0 на виртуальных пластических поворотах u (см. рис. 6.10), для которой соответствующее уравнение можно записать в виде
Для рассматриваемого случая, когда все виртуальные повороты одинаковы, уравнение (6.60) примет вид
После подстановки остаточных изгибающих моментов из формулы (6.42) получим
Виртуальные углы поворота не равны нулю, и после их сокращения получим
Доказательство того, что сила P является предельной пластической нагрузкой приспособляемости Ppl,q,было приведено выше.
Покажем еще, что при предельной пластической нагрузке приспособляемости Ppl,0 [формула (6.4В)] не следует опасаться исчерпания несущей способности в результате переменной текучести [условие (6.33)].
Наибольшая разность экстремальных изгибающих моментов, как это следует из табл. 6.1, будет для сечения 4; она равна
Это значит, что данный случай исчерпания несущей способности нe является решающим.
В методе предельных состояний учитываются повторные эксплуатационные нагрузки (n=1,0). Поэтому в соответствии с зависимостями (6,48) и (6.35) можно записать:
Сравнение результатов, полученных по формулам (6.36) и (6.65), показывает, что решающей является однократная перегрузка с мгновенным исчерпанием несущей способности балки.
Предельный коэффициент надежности по нагрузке. Приведенный выше пример был решен при коэффициенте надежности по нагрузке n=1,3, принятом в формуле (6.35). Как уже отмечалось, если при проверке конструкции не учитывать постоянную нагрузку, то выполняются условия
Приняв знак равенства и обозначив предельный коэффициент надежности по нагрузке npl, получим
При различных значениях коэффициента n имеем следующие предельные состояния:
а) n≥npl — решающим является мгновенное исчерпание несущей способности;
б) n=npl — мгновенное исчерпание несущей способности и прогрессивное разрушение равноценны,
в) n≤npl — решающим является прогрессивное разрушение.
Необходимо отметить, что здесь не рассматривается исчерпание несущей способности в результате переменной текучести.
В дальнейшем мы не будем приводить новые примеры определения предельной пластической нагрузки для других типов неразрезных балок. Пo данному вопросу опубликован ряд работ, в частности, приведены решения для двухпролетных неразрезных балок, загруженных сосредоточенными силами, для четырехпролетных балок с равномерно распределенной нагрузкой в отдельных пролетах, а также загруженных постоянной равномерной нагрузкой во всех пролетах и временной равномерной нагрузкой в отдельных пролетах.
Обзор этих результатов дан в табл. 6.2, из которой следует, что наименьшее значение предельного коэффициента надежности по нагрузке получено в случае, для которого не проверены все возможные комбинации временной нагрузки, а именно, для рассмотренного выше примера, где npl = 1,097.
Простейшая рама, загруженная сосредоточенными вертикальными и горизонтальными силами. Рассмотрим простейшую П-oбразную раму (рис. 6.11), у которой жесткость ригеля больше жесткости колонн. Соотношения между геометрическими характеристиками следующие:
Между пластическими предельными моментами ригеля и колонн имеет место соотношение
Предельная пластическая нагрузка рамы в случае мгновенного исчерпания несущей способности при нагружениях силами P и H3 = Р/2 или P и Н4=P/2 равна
Изгибающие моменты в сечениях 1—5 упругой рамы от отдельных нагрузок (рис. 6.11, b-d) приведены в первых четырех строках табл. 6.3.
Статическое решение выполнено методом сил. В качестве лишних неизвестных приняты величины М1, V1, H1 (рис. 6.11, а). При этом
Если внешняя нагрузка P = 0, H3= 0, H4=0, то эти уравнения дают зависимости между остаточными усилиями, действующими в сечениях. Их можно записать в следующем виде:
Исключив остаточные реакции, получим
Любое повторение нагрузок P, H3 и H4. Экстремальные изгибающие моменты Mmax и Mmin в упругой раме от решающей комбинации рассматриваемых нагрузок, а также их разность приведены в пятой и шестой строках табл. 6.3. Экстремальные значения являются суммой значений от отдельных загружений; например, , является суммой M1 от нагрузок P и H4; Ml,min является моментом M1 только от нагрузки H3. Из табл. 6.3 видно, что полной разгрузки при определении экстремальных значений не происходило. Этого не было бы, если бы рассматривалась только комбинация нагрузок P и H3.
Предельная пластическая нагрузка приспособляемости. Первое предположение относительно возникновения пластических шарниров: считаем, что в процессе повторного нагружения предельные пластические изгибающие моменты будут достигнуты в сечениях 1-4 (рис. 6.12, а). В этом случае изгибающие моменты равны
Согласно условиям приспособляемости (6.29) и (6.30), в которых принимается знак равенства, остаточные изгибающие моменты будут иметь следующие значения:
Подставив значения остаточных изгибающих моментов во вторую зависимость (6.72), получим
Теперь можно вычислить остаточные изгибающие моменты (6.74), а из первой зависимости (6.72) — момент M05. Их сумма с экстремальными изгибающими моментами в упругой раме (см. табл. 6.3) дает наибольшие и наименьшие изгибающие моменты для принятой комбинации нагрузок, численные значения которых приведены в табл. 6.4.
т.е. распределение изгибающих моментов не является безопасным, поскольку не выполнены условия (6.29) и (6.30) приспособляемости. Таким образом, расположение пластических шарниров было принято неправильно, а нагрузка P, согласно формуле (6.76), не является предельной пластической нагрузкой приспособляемости.
Этот вывод можно было сделать сразу же после определения значения P по формуле (6.76), так как пластическая нагрузка Ppl,0 приспособляемости должна быть меньше или равна предельной пластической нагрузке Fpl при мгновенном исчерпании несущей способности, выраженной уравнением (6.69).
Второе предположение относительно возникновения пластических шарниров: считаем, что в соответствии с рис. 6.12, b выполняются зависимости
Остаточные изгибающие моменты равны
Исключив остаточный момент М03 из уравнений (6.72), получим
откуда после подстановки значений моментов из формул (6.78) находим
Соответствующие изгибающие моменты приведены в табл. 6.4. Поскольку условие приспособляемости не выполнено (M3= -0,6711 Mpl≤-0,55 Mpl), задачу нельзя считать решенной.
Третье предположение относительно возникновения пластических шарниров, согласно рис. 6.12, с, имеем:
Остаточные изгибающие моменты равны
Исключив из уравнений (6.72) моменты M01 и M02, получим
откуда после подстановки значений моментов из выражений (6.82) находим
Значения изгибающих моментов для третьего предположения в табл. 6.4 показывают, что во всех сечениях выполнены условия (6.29) и (6.30). Выполнены также и условия объединенной теоремы предельной пластической нагрузки приспособляемости, т.е. вычисленная нагрузка является искомой:
При решении задачи условие первого уравнения (6.81) М2=+Mpl,1=+0,55 Mpl не было использовано. В то же время табл. 6.4 показывает, что это условие выполнено; кроме того, пластический шарнир возникает и в сечении 1:M1=+0,55 Mpl.
Из равенства комбинаций нагружений P-H3 и P-H4 для экстремальных изгибающих моментов (табл. 6.3), использованных при определении наибольших и наименьших моментов (табл. 6.4), установим, какой из пластических шарниров соответствует определенной комбинации. Например, пластический шарнир в сечении 1 возникает при положительном изгибающем моменте M1=+0,55Mpl,1. Соответствующий экстремальный изгибающий момент 19/168 Pl (табл. 6.3) возникнет от комбинации нагружения P и H4.
От комбинации нагружения P и H3 пластические шарниры возникнут в сечениях 2, 4 и 5 (рис. 6.13, а); от комбинации P и H4 — в сечениях 1, 3 и 5 (рис. 6.13,b).
Предельная пластическая нагрузка при исчерпании несущей способности о т переменной текучести-малоцикловой усталости. Предельную нагрузку определим из условия (6.33) с учетом данных для наибольшего значения Mmax-Mmin (см. табл. 6.3).
Для сечения 3 и 4 имеем
откуда получим
Эта нагрузка является предельной пластической при исчерпании несущей способности от переменной текучести.
Сравнение результатов. Из выражений (6.69), (6.85) и (6.87) можно видеть, что выполняется условие
откуда следует, что решающей является предельная пластическая нагрузка при исчерпании несущей способности от переменной текучести. Это справедливо тогда, когда не нужно учитывать случайную перегрузку от внешней нагрузки.
В практике проектирования согласно действующим нормам, при мгновенном исчерпании несущей способности от однократного действия повторяющихся нагрузок принимают предельную расчетную нагрузку (n≥1,0), в то же время при исчерпании несущей способности от многократного действия повторяющихся нагрузок принимается эксплуатационная расчетная нагрузка (n=1,0). В связи с этим необходимо выполнить новое исследование с учетом коэффициента надежности по нагрузке, подобно тому, как было сделано выше; однако здесь такое исследование проводиться не будет.
Примечания: 1. Для случая нагружения рамы сосредоточенными силами попарно Р и Н3 или Р и H4 значения упругих экстремальных изгибающих моментов приведены в табл. 6.3. Правильное предположение относительно механизма разрушения удовлетворяет условиям (6.81). Остаточные моменты и в этом случае будут определяться зависимостями (6.82), так как изменения экстремальных моментов (см. табл. 6.3) по отношению к предыдущим комбинациям нагрузки на их значения влиять не будут. Тогда и результирующая нагрузка тождественна нагрузке, определяемой формулой (6.85). Отличие заключается в разности изгибающих моментов Mmax-Мmin и значении предельной пластической нагрузки для переменной текучести (Ppl,s=6,6957 Mpl/l), которая, однако, в этом случае не является решающей.
2. Если исключить возможность действия нулевой нагрузки, то попарные комбинации сил P и или P и H4 можно рассматривать, как сочетание постоянной P и повторяющейся и H4 нагрузок.
Однако в расчетах можно применять другой способ: считать нагрузку P постоянной без учета изменения P3 и H4, а при определении зависимостей между остаточными моментами из уравнений (6.70) принимать Р≠0.
Для механизма разрушения, удовлетворяющего зависимостям (6.81), необходимая связь между остаточными моментами имеет вид
Упругие экстремальные моменты для этого случая приведены в табл. 6.3, а остаточные моменты равны
После подстановки их значений в уравнение (6.88) получим значение предельной нагрузки P, которая тождественна нагрузке, определяемой формулой (6.85).
При этом остаточные изгибающие моменты будут равными:
а результирующие моменты при отдельных изменениях нагрузок Н3 и H4 получат значения
Таким образом, в сечении 5 возникает постоянный пластический шарнир, а изгибающие моменты в остальных сечениях изменяются. По сравнению с предыдущими комбинациями нагрузок рассматриваемая приводит к другим остаточным и результирующим моментам в сечениях, в которых не возникают пластические шарниры.