ГлавнаяСтатическая, кинематическая и объединенная теоремы. Для заданной конструкции, находящейся под воздействием определенного вида нагрузок, пропорциональных одному параметру, действительны следующие теоремы.
1. Статическая теорема (о нижнем пределе предельной нагрузки):
а) значение нагрузки, отвечающей некоторому статически допустимому распределению внутренних сил, меньше или равно значению предельной пластической нагрузки;
б) из всех статически допустимых распределений внутренних сил при полном исчерпании несущей способности заданной конструкции принимается то, при котором работа внутренних сил достигает наименьшего значения.
2. Кинематическая теорема (о верхнем пределе предельной нагрузки):
а) значение нагрузки, отвечающей некоторому допустимому механизму разрушения, больше или равно значению предельной пластической нагрузки;
б) из всех допустимых кинематических механизмов разрушения действительным является тот, для которого работа внешних сил достигает наибольшего значения.
3. Объединенная теорема (теорема единственности) :
а) действительной предельной пластической нагрузкой является та, для которой статическое решение находится в соответствии с кинематическим;
б) виртуальные работы соответствующих внутренних и внешних сил равны.
Для конструкций с преобладанием изгиба очевидно следующее. Если исследуемой нагрузке определенной величины соответствует хотя бы одна статически допустимая эпюра моментов, у которой экстремальные изгибающие моменты равны пластическим несущим способностям в числе сечений, достаточном для образования пластического шарнирного механизма (причем знак изгибающих моментов в пластических шарнирах действительно отвечает направлению поворотов стержней в этих шарнирах), то эта нагрузка является пластической несущей способностью конструкции. Рассматриваемая нагрузка другой величины изложенным условиям не удовлетворяет.
Статическую и кинематическую теоремы применяют в некоторых методах исследования пластической несущей способности сечений и соединений.
Допустимые решения. Приведем определение допустимых решений для конструкция с преобладающим изгибом.
Статическая формулировка. Статически безопасным решением является такое, при котором изгибающий момент в любом сечении не превосходит пластическую несущую способность элемента
Статически возможным решением является то, которое находится в соответствии с условиями равновесия между внешними и внутренними силами.
Статически допустимым решением является такое, которое одновременно статически безопасно и возможно.
Кинематическая формулировка. Кинематически безопасным решением является то, при котором поворот К в пластических шарнирах остается в определенных границах, что в суммарном выражении определяется формулой
Кинематически возможным решением является то, которое находится в соответствии с условиями неразрывности деформаций и с условиями закрепления.
Кинематически допустимым решением является то, которое кинематически безопасно и возможно.
Для некоторых расчетных методов, требование (5.23) безопасного кинематического решения является формальным и не применяется. Условие (5.23) имеет, однако, свое значение при составлении алгоритмов для автоматизированного расчета.
В кинематических механизмах разрушения при принятых упрощенных условиях значения углов поворотов стержней однозначно определить нельзя. Известны только соотношения между отдельными углами поворотов. Поэтому масштаб углов поворота стержней vk, и соответственно предел пластических поворотов К можно принимать любым, в результате чего в формуле (5.23) следует принимать знак равенства.
Предел К является чисто математическим значением, не связанным с физическими ограничениями типа (7.55), (7.56) и т.п.
Принцип виртуальной работы. Пластическая деформация конструкции сконцентрирована только в местах расположения пластических шарниров и при образовании механизма разрушения кривизна стержня, находящегося между пластическими Шарнирами, не изменяется (рис. 5.8). После возникновения пластических шарниров конструкцию или ее часть можно рассматривать как кинематический механизм, состоящий из жестких стержней, взаимно соединенных пластическими шарнирами.
Принцип виртуальной работы выражается равенством виртуальной работы внешних и внутренних сил:
Aex = Ain.
Для плоской конструкции его можно записать в упрощенном виде
Более общая формула, которая учитывает упругие деформации, а также влияние продольных и поперечных сил, приведена в работе.
В формуле (5.24) одна группа величин (обозначены без черты) зависит от действительной нагрузки, другая (с чертой наверху) — от виртуальной нагрузки. Обе группы величин взаимно независимы. Символы j, k обозначают сечения, в которых:
- действует внешний сосредоточенный момент (либо две силы, заменяющие его) или сосредоточенная сила Pj;
- возникает пластический шарнир и действует пластический момент Mpl,k;
- появляются повороты или перемещения fj узлов;
- появляются повороты стержней vk.
Величины в формуле (5.24) должны удовлетворять условиям равновесия, равенства работ и неразрывности перемещений.
Формулу (5.24) можно применять как для сосредоточенных воздействий, так и для распределенной нагрузки. Во втором случае Pj — равнодействующая внешнего распределенного момента или нагрузки рj, a fj, — поворот или перемещение в месте воздействия этой равнодействующей. Если распределенные воздействия разделены пластическими шарнирами на несколько частей, то равнодействующую необходимо определять для каждой части отдельно.
В дальнейшем для упрощения записи черта над обозначениями виртуальных величин применяться не будет.
Знаки величин принимают следующим образом. Работа Aex внешних сил считается положительной, если направление силового воздействия совпадает с направлением соответствующей деформации. Работа Ain внутренних сил, накопленная в пластических шарнирах, всегда положительна независимо от направления поворота стержней.
Принцип виртуальной работы применяется в кинематических методах определения пластической несущей способности конструкций или в методах определения перемещений.