ГлавнаяРассмотрим работу конструкций в случаях, когда преобладают напряжения от изгиба. Это означает, что пластические шарниры образуются только от изгибающих моментов; при этом влияние поперечных и нормальных сил, а также кручения не учитывается. Предполагается также, что местная и общая устойчивость обеспечены. Расчет с такими предпосылками назовем простой теорией пластичности. Она особенно применима для защемленных или неразрезных балок и рам с сечениями, имеющими хотя бы одну ось симметрии, и загруженных в плоскости симметрии. Чтобы не учитывать влияние деформированной схемы, будем рассматривать работу рам, имеющих не более двух этажей.
Приближенное решение, принятое на основе учета только изгибающих моментов, в большинстве случаев приведет к небольшим отклонениям в сторону уменьшения запаса прочности конструкции. Переоценку пластической несущей способности конструкции компенсирует, однако, действительная работа стали с учетом области самоупрочнения.
Игнорируемые факторы можно учесть, если вместо обычных пластических изгибающих моментов принимать приведенные пластические изгибающие моменты, которые уточняются последовательными приближениями с использованием деформированной схемы.
Кроме обычных предпосылок для изгибаемых элементов будем принимать идеальную упругопластическую зависимость между изгибающим моментом и кривизной. Это означает, что в сечении, где образуется пластический шарнир, упругие деформации действуют до полного исчерпания несущей способности в результате мгновенного образования пластического шарнира.
В этой теме будем рассматривать так называемое простое или пропорциональное нагружение. Теоретически предполагается, что речь идет об однократном действии системы нагрузок, которые oт возникновения первого пластического шарнира и до появления пластического механизма разрушения увеличиваются пропорционально одному параметру. Практически такой случай встречается редко. Увеличение нагрузки обычно происходит не одновременно и не пропорционально; в ряде случаев может произойти даже преждевременная разгрузка конструкции, которая, однако, не повторяется многократно или не вызывает напряжений обратного знака в уже появившихся пластических шарнирах. В этом случае результирующий механизм разрушения и предельная пластическая нагрузка такие же, как и при выполнении строгого теоретического предположения. Эта инвариантность предельной пластической нагрузки объясняется тем, что после образования механизма разрушения предельная пластическая нагрузка определяется на основе неизменных условий равновесия, даже если в истории нагружения были допущены отклонения от теоретических предположений. Результат в основном зависит от начальных несовершенств: остаточных напряжений, частичной податливости соединений, перемещения опор, поворотов в заделках стержней и т.п.
Методы применяются для определения предельного состояния конструкций по несущей способности. Поэтому необходимо принимать расчетную нагрузку с учетом коэффициентов надежности по нагрузке и коэффициентов сочетания. Точно так же при вычислении предельного изгибающего момента Mpl=RZ принимают расчетное сопротивление R, вычисленное с учетом коэффициента надежности по материалу, а при необходимости и с учетом коэффициента условий работы и коэффициента ответственности конструкции (коэффициент надежности по назначению).
До введения расчета по предельным состояниям нормируемая нагрузка умножалась на один коэффициент перегрузки, обычно принимавшийся равным 1,7. При вычислении пластических изгибающих моментов принимался нормируемый предел текучести σfl. Понятие "нормируемый" в данном случае означает, что речь идет о значениях, принимаемых по нормам для нагрузок или материалов.
Упомянутые коэффициенты следует применять при практическом проектировании конструкций; в теоретических решениях, изложенных в данной книге, они использоваться не будут.
Стержневая модель статически неопределимой конструкции. Растянутый стержень имеет постоянные напряжения по сечению и в случае идеального упругопластического материала при достижении предела текучести σfl полностью пластифицируется. Схема его работы может служить моделью работы изгибаемых балок в предположении мгновенного образования пластического шарнира (см. рис. 1.3, а и 1.6, а). Схема работы статически неопределимой системы стержней также может служить моделью работы статически неопределимой конструкции, нагруженной изгибом (рис. 5.1 и 5.3).
Аналитическое выражение работы системы, имеющей одну степень статической неопределимости, дано в работе. Здесь же рассмотрим конкретные примеры.
Для стержневой системы, показанной на рис. 5.1 (где F1 — площадь сечения стержня 1; F2 — площадь сечения стержня 2), при нагрузке силой P усилия в упругом состоянии выражаются формулами
Схема работы системы при F1=F2 может служить моделью статически неопределимой конструкции с постоянной пластической несущей способностью Npl=Npl,1=Npl,2=σfl F1=σflF2. При N2≥N1 текучесть появляется в стержне 2. Рассмотрим работу системы при увеличении нагрузки до полного исчерпания несущей способности.
Линейная зависимость между нагрузкой P и усилиями N1и N2 представлена на рис. 5.1 прямыми линиями OA1 и OA2. Точки A1 и A2 соответствуют нагрузке Рel=1,707 Npl, при которой появляется текучесть в стержне 2 (N2=Npl,2). В стержнях I усилия = 0,5 Npl, и эти стержни способны воспринимать дальнейшее увеличение нагрузки ΔP, при этом в стержне 2 усилие остается постоянным. При увеличении нагрузки на ΔP=0,707 Npl усилия в стержнях 1 достигнут значения Npl и наступит выравнивание усилий N1=N2 и, следовательно, полное исчерпание пластической несущей способности. Зависимость между увеличением нагрузки и усилиями показана на рис. 5.1 прямыми A1B1 и А2B3. Пластическая предельная нагрузка выражается формулой
На рис. 5.1 прямыми линиями B1C1 и B2C2 показан процесс разгрузки, которая происходит упруго. Напомним только, что при разгрузке в стержнях остаются остаточные усилия, значения которых равны N1=0,293Npl, N2=-0,414Npl.
Последовательное увеличение нагрузки характеризует работу стержневой системы в отдельных стадиях. При определении предельной пластической нагрузки Ppl нет необходимости их исследовать, так как значение Ppl можно определить прямо из условия равновесия.
При исчерпании пластической несущей способности N1=N2=Npl и, следовательно,
При F1≠F2 выравниваются не усилия, а напряжения. Поэтому схема работы соответствующих стержней может служить моделью работы статически неопределимых конструкций с учетом последовательного достижения пластической несущей способности сечений.
Неразрезная балка постоянного сечения. Рассмотрим неразрезную двухпролетную балку, имеющую одинаковые пролеты, двутаврового сечения с коэффициентом формы сечения f=Z/W=1,15. При нагрузке сосредоточенной силой P в середине одного пролета (рис. 5.2) максимальные изгибающие моменты в упругом состоянии равны
Правило знаков для моментов приведено далее и показано на рис. 5.9, а.
При достижении предельного упругого изгибающего момента Mel=σflN в сечении 2 будет исчерпана упругая стадия его работы и появятся пластические деформации. Предельную упругую нагрузку можно выразить формулой
При дальнейшем увеличении нагрузки пластические деформации развиваются сначала в сечении 2, а затем и в сечении 3.
Исходя из предположения об идеализированной зависимости согласно рис. 1.6, а последовательное развитие пластических деформаций в сечениях не учитывается и упругая работа принимается вплоть до появления изгибающего момента M2=Mpl=σflZ, т.е. после достижения условной предельной упругой нагрузки, определяемой по формуле
При этом в сечении 2 возникает пластический шарнир. При подстановке Pel в формулу (5.6) получим, что M3=(6/13)Мpl. Балка еще способна воспринимать увеличение нагрузки ΔP (рис. 5.2, с), ее предельное значение обусловливается возникновением пластического шарнира в сечении 3.
Ограничение для суммы изгибающих моментов в сечении 3 от нагрузки Pef и ΔP можно выразить формулой
Таким образом, в сечении 2 и 3 изгибающие моменты по величине равны Mpl, а по знаку обратны, т.е. произошло выравнивание абсолютных значений изгибающих моментов (в дальнейшем будем употреблять термин "выравнивание изгибающих моментов") и возник пластический механизм разрушения (рис. 5.2, е).
Пластический шарнир допускает поворот только в одном направлении, т.е. при разгрузке он работает упруго. Чтобы различать, в каком направлении работает сечение как пластический шарнир, будем обозначать его на схемах с растянутой стороны дополнительным полукружком (рис. 5.2, е). Простым кружком будем обозначать обычный "конструктивный" шарнир.
Предельную пластическую нагрузку можно определить прямо из условия равновесия с учетом выравнивания изгибающих моментов. Если опоры балки могут воспринимать силы отрыва, то после разгрузки на балке останутся остаточные изгибающие моменты, эпюра которых изображена на рис. 5.2, h.
Зависимости между изгибающими моментами M2 и М3 и нагрузкой P даны на рис. 5.3. Штрихпунктирные линии обозначают последовательную пластификацию сечений 2 и 3.
При нагружении сосредоточенными силами P в середине обоих пролетов (рис. 5.2, i) первый пластический шарнир возникнет в сечении 3. В процессе дальнейшего увеличения нагрузки каждый пролет работает как самостоятельная простая балка. Предельная пластическая нагрузка Ppz будет такой же, как и в предыдущем случае, так как изгибающие моменты при образовании пластического механизма в левом пролете равны изображенным на рис. 5.2, f; в правом пролете они симметричны (рис. 5.2, j). Различными будут значения прогибов.
Рассмотрим работу балки, загруженной равномерно распределенной нагрузкой р (рис. 5.4). Эпюра изгибающих моментов в упругом состоянии показана на рис. 5.4, b. При этом максимальный отрицательный изгибающий момент действует в сечении 3, положение максимального положительного изгибающего момента определим из условия dM/dz=T=0.
Предельную упругую нагрузку pel определим из условия
Условная предельная упругая нагрузка, при которой появляется первый пластический шарнир в сечении 2, определяется по формуле
При этом изгибающий момент в сечении 3 равен -0,6531Mpl, что позволяет увеличивать нагрузку. При увеличении нагрузки изменяются значения изгибающего момента M3 и максимального положительного момента в левом пролете, а следовательно, и положение пластического шарнира. Однако значение этого изгибающего момента остается постоянным, так как он не может превысить значение Mpl, определяемое пределом текучести стали и размерами поперечного сечения.
Изгибающие моменты при нагрузке p, для которой действительно соотношение Pel<р
Зависимости между изгибающими моментами М2 и M3 и нагрузкой подобны зависимостям, представленным на рис. 5.3, поэтому эти графики здесь не приводятся.