ГлавнаяОсновным геометрическим параметром пластинки, от которого зависит ее работа, является гибкость λ=h/d (где h и d — высота и толщина пластинки).
Установим, какую наибольшую гибкость должна иметь пластинка, чтобы была полностью исключена ее потеря устойчивости при пластических расчетах.
Теоретическое решение. Рассмотрим пластинки, на которые действуют равномерные сжимающие напряжения σ (рис. 4.19,а). Принимаем допущение о том, что пластинка не имеет начальных искривлений, остается плоской вплоть до предельного состояния и потеря устойчивости происходит сразу при достижении критического напряжения σcr. Условие пластичности выражается формулой
При определении критического напряжения σcr необходимо учитывать неупругую работу конструкции. Имеется ряд методов для вычисления критических напряжений в пластической области. Наиболее широко известен простой метод так называемого ортогонального анизотропного действия, который в представлении Хайера и Тюрлиманна используется при следующих предпосылках:
1) принимается идеальный упругопластический материал с упрочнением в конце площадки текучести в соответствии с рис. 13, d;
2) материал может находиться в упругом состоянии или в зоне упрочнения; при упругой работе материал является однородным и изотропным, в области упрочнения — однородным и ортотропным;
3) выполняется закон плоских сечений, т.е. относительные деформации ε изменяются линейно по толщине пластинки (рис. 4.19, б);
4) текучесть сжатого элемента начинается или в среднем сечении или одновременно в обоих его концах;
5) согласно теории Шенли предполагается увеличение нагрузки в процессе потери устойчивости пластинки и, следовательно, не учитывается разгрузка части сечения.
Определение критического напряжения сводится к решению задачи отыскания первого собственного значения дифференциального уравнения:
С учетом допущения о том, что разгрузки пластинки не происходит, имеем
Величины Dх, Dy, Dyx, Gt определяют экспериментальным или теоретическим исследованием пластинок, нагруженных простым сжатием таким образом, чтобы относительные деформации отвечали условию ε≥εpl и была проработана вся площадка текучести материала. Труднее всего установить касательный модуль при сдвиге Gt. Для этого лучше всего испытать короткую тонкостенную трубку: сначала подвергнуть ее центральному сжатию с относительной деформацией ε=εpl, а затем кручению.
Для равномерно сжатой пластинки (см. рис. 4.19, а) из уравнения (4,44) были определены значения критического напряжения σcr для разных случаев закрепления (табл. 4.3); в этой таблице приведены также длины l0 полуволн при потере устойчивости.
Если значения критических напряжений из табл. 4.3 подставить в условие пластичности (4.43), то для принятых краевых условий можно определить наибольшие допустимые гибкости равномерно сжатых пластинок, потеря устойчивости которых не произойдет раньше, чем будет проработана вся площадка текучести. При этом в расчетах конструкций за пределом упругости потерю устойчивости пластинок можно не проверять.
Эту задачу для американской стали А7, соответствующей нашим сталям класса 37, решили Хайер и Тюрлиманн. Материал имел следующие характеристики: Dx = 21 кН/мм2; Dy = 230 кН/мм2, Dxy = 57 кН/мм2, Gt = 16,9 кН/мм2.
Из формулы (4.45) следует H = 181,6 кН/мм2.
Подставляя эти значения в формулы табл. 4.3 для расчета критических напряжений, а последние в формулу (4.43), и принимая в ее правой части средний предел текучести σfl (для американской стали А7σfl = 252 Н/мм2), получим наибольшую допустимую критическую гибкость пластинки. Значения этих гибкостей имеют пластинки, теряющие устойчивость при деформациях, соответствующих концу площадки текучести на диаграмме работы материала.
При проектировании пластинок, у которых обеспечена устойчивость, должно быть выполнено условие
Изложенным способом получены следующие окончательные формулы:
а) для сжатых поясов двутаврового сечения (рис. 4.20, а)
б) для сжатых поясов двутаврового сечения с поясным уголком (рис. 4.20, b) или с другим подобным элементом замкнутого профиля
в) для пластинок, не закрепленных с одной стороны (рис. 4.20, с)
г) для сжатых поясов замкнутого сечения (рис. 4.20, d)
Для сжатых стенок между горизонтальными поясами замкнутого сечения (см. рис. 4.20, d) нет надобности выполнять требование потери устойчивости после проработки всей площадки текучести; в этом случае достаточно, чтобы стенка оставалась достаточно жесткой при относительной деформации ε≤εel. Учитывая это, получим
Выше были рассмотрены только равномерно сжатые пластинки. В то же время стенки между поясами часто нагружены комбинацией сжатия и изгиба. В этом случае последовательность расчета остается в основном такой же, как и для равномерно сжатых стенок. Принимая отношение относительных деформаций εmax/εel и отношение площадей всего сечения и стенки F/Fs=2, получим
Если элемент конструкции нагружен только изгибом (N=0), из формулы (4.53) имеем
Как отмечалось выше, приведенные формулы получены для американской стали A7, которая по показателям прочности близка к нашим сталям класса 37. Для других сталей с достаточной точностью можно принять формулу
Экспериментальная проверка. Формулы, приведенные ранее, получены из теоретического решения, которое основано на ряде упрощающих предпосылок. Сначала эти формулы были проверены экспериментально только для элементов, изготовленных из американских сталей. Возникла необходимость проверить их путем проведения испытаний моделей с начальными несовершенствами, изготовленных из чехословацких сталей. В испытаниях, проведенных в Чехословакии, определялась также допустимая гибкость стенки, укрепленной продольным ребром.
Основные результаты испытаний были использованы при издании измененной редакции норм ЧСН 73 1401/1976 (ч. X, "Пластическая несущая способность"). Влияние прочности стали учтено в нормах формулой (4.55), в которой вместо пределов текучести необходимо принять расчетные сопротивления R (для стали класса 37 принято R37 = 210 Н/мм2).
Пластинки сечений в местах расположения пластических шарниров согласно нормам должны иметь следующие значения наибольших допустимых гибкостей (отношений ширины или высоты к толщине):
а) незакрепленный свес пояса открытого сечения
б) сжатый пояс замкнутого сечения или стенка между сжатым поясом и продольным ребром
в) стенка между продольным ребром и нейтральной осью сечения при изгибе или изгибе со сдвигом
г) стенка без продольных ребер при изгибе или изгибе со сдвигом
е) стенка сжатого и изгибаемого сечения
Продольное ребро жесткости, располагаемое в сжатой зоне стенки, должно быть продолжено в упругие области работы элемента, а его необходимую жесткость следует принимать из условия
Размеры ребра жесткости по условиям обеспечения его местной устойчивости должны соответствовать условиям (4.56) и (4.57).
Учет закритической работы стенок. В сечениях, где появляются пластические шарниры, устойчивость стенок необходимо обеспечить путем выполнения условий данных ранее. Этим можно гарантировать достаточную способность к повороту в пластических шарнирах и возможность образования механизма разрушения системы, что соответствует предпосылкам метода расчета несущей способности по технической теории пластичности.
Для остальных областей конструкции нет необходимости выдерживать эти жесткие требования; достаточно, чтобы их предельные состояния не были достигнуты раньше, чем будет исчерпана несущая способность конструкции в целом. При расчете предельного состоянии стенок целесообразно использовать их закритические резервы при σ≥σcr и τ≥τcr в пределах и за пределом упругих деформаций. Речь идет о методе расчета, разработанном М. Шкалоудом в содружестве с К. Рокки.
Исследование несущей способности стопок выполним в строгом соответствии с методом, изложенным в гл. 5, где рассматриваются пластические расчеты рамных конструкций, неразрезных балок и т.п. Первым шагом расчета является выбор необходимого механизма разрушения на основе результатов экспериментальных исследований.
Например, для стенки, в которой действуют касательные напряжения (рис. 4.21), механизм разрушении состоит из диагональной растянутой полосы текучести в стенке (угол ее наклона, ширина и ориентация по отношению к жестким элементам, окаймляющим участок стенки, зависят от жесткости поясов) и системы пластических шарниров, образующихся вследствие изгиба поясов (положение внутреннего из них является функцией момента инерции пояса). Пластических шарниров должно быть столько, чтобы система имела одну кинематическую степень свободы и чтобы действительно был достигнут кинематический механизм разрушения, как это изложено далее. Экспериментальные исследования показывают, что при этом возникает стержневой механизм в каждом гюйсе (рис. 4.21, а) или комбинированный механизм разрушения для всего отсека (рис. 4.21, б).
Используя условия равновесия или принцип виртуальной работы, определяют напряжения, соответствующие образованию механизма разрушения, и тем самым — несущую способность стенки. Согласно кинематической теореме, этот метод должен дать верхний предел несущей способности, однако, учитывая безопасный характер допущений в отношении перераспределения напряжений в стенке при потере устойчивости, принятое решение обеспечивает надежность конструкций и хорошо согласуется с экспериментом.
Таким же образом устанавливаются механизм разрушения и несущая способность элемента для других видов нагружения стенки.
Например, при равномерном сжатии стенки (рис. 4.22, а) в результате ее неустойчивости происходит перераспределение мембранных напряжений σx таким образом, что у продольно закрепленных краев (у=0, у=b) мембранные напряжения значительно больше, чем в средней части стенки (рис. 4.22, д). Эта неравномерность распределения продольных мембранных напряжений часто выражается с помощью так называемой редуцированной ширины bs, которая принимается по формуле
Предельное состояние стенки будет достигнуто при выполнении условия шах
Напряжения равномерно сжатой стенки, соответствующие несущей способности, можно выразить формулой
Подобное перераспределение мембранных напряжений наблюдается и в изгибаемых стенках (рис. 4.23), что можно также учесть с помощью редуцированной ширины.
Изложенный способ расчета стенок в настоящее время применяется не только в области пластических задач, но также и в расчетах стальных конструкций в пределах упругости (при надежности принимаемых допущений в отношении предельного состояния стенки). Такие данные (совместно с результатами исследований И. Дюбека и сотрудников) были включены в раздел VII "Прочность устойчивых стенок" ЧСН 73 1401/1976.
В связи с тем, что в ЧСН 73 1401/1976 требования по проектированию стальных конструкций приведены в основном в форме упругих решений, в формулах используются упругие характеристики сечения. Пластическая работа и другие особенности учитываются с помощью коэффициентов условий работы.
Пластическая несущая способность равномерно сжатой стенки, подкрепленной двумя поясами, а также ребрами или другими пластинками, расположенными параллельно напряжениям, определяется по формуле
Несущая способность изгибаемой стенки, подкрепленной двумя поясами или продольными ребрами жесткости, определяется по фомуле
Если сечение балки с устойчивой стенкой подвержено действию сжатия с изгибом (рис. 4.24, а), то оно проверяется с учетом следующих условных характеристик:
- приведенная площадь
- приведенный момент сопротивления (для сжатого и растянутого волокон)
Если напряжения от изгиба в поясах разные, то значения Ws и mM определяют для высоты стенки hs=2yl (рис. 4.24, а).
Если расчетное сопротивление поясов Rp больше, чем расчетное сопротивление стенки Rs=R , то в работах принимается значение Rp с введением коэффициентов условий работы mNR/Rp или mMR/Rp; при этом значения mN или mM определяются при расчетном сопротивлении стенки R.
Несущая способность стенки при сдвиге от действия неподвижной нагрузки выражается формулой
является наименьшим значением коэффициента mγ, непревышающим 1,0.
В формуле (4.72) s — меньшая из сторон рассматриваемого отсека стенки (a или h, рис. 4.23, а), α≥1,0 — отношение большей стороны отсека стенки к меньшей.
В формуле (4.71) коэффициент условий работы пояса определяется по формуле
и принимается не более чем ψ(1-mn).
Здесь
При вычислении пластического момента сопротивления необходимо учитывать часть стенки высотой (см. рис. 4.24, а), равной
Несущая способность стенки при действии между вертикальными ребрами жесткости неподвижной сосредоточенной силы P определяется по формуле
Здесь Fm=smds — площадь части стенки, на которой предполагается равномерное распределение сосредоточенной силы, при этом длина распределения принимается по формуле
В формуле (4.75) коэффициент условий работы при потере устойчивости mm принимается не более 1,0 и определяется по формуле
Если в стенке балки под сосредоточенной силой действуют также нормальные напряжения σ0 от изгиба, то необходимо принимать приведенный коэффициент ϗ'p, определяемый по формуле
