ГлавнаяПоверхность взаимодействия при изгибе, осевом растяжении (сжатии) и сдвиге можно получить путем постепенного увеличения нагрузок и рассмотрения текучести соответствующих частей сечения или методом последовательной пластификации сечения согласно п. 2.12. Однако в этом случае необходимо знать зависимость увеличения напряжений от отдельных воздействий, так как здесь отсутствует пропорциональность такого увеличения, как это было в большинстве случаев действия изгиба и сдвига.
Принципы теоретических решений. При пропорциональном увеличении напряжений результаты можно получить на основе статического и кинематического методов теории пластичности, которые дают нижний и верхний пределы искомого решения.
Этот подход применил З. Соботка, который для определения нижнего предела распределения напряжений σ и τ принимал при максимуме изгибающего момента и постоянных значениях продольной и поперечной сил. Верхний предел он определял из условия пластичности.
Из решения задачи получены напряжения, определяемые по формулам
Предельный пластический изгибающий момент Mpl с учетом влияния поперечной T и продольной N сил выражается формулой
Предельная пластическая продольная сила NplMT с учетом влияния изгибающего момента M и поперечной силы T выражается формулой
Предельная пластическая поперечная сила TplMN с учетом влияния изгибающего момента M и продольной силы N выражается формулой
С дальнейшими преобразованиями этих формул можно познакомиться в работе. Рассмотрим другие решения, основанные на приближенных предпосылках о распределении напряжений или на установлении его статическим методом.
Прямоугольное сечение. Решение C.A. Пальчевского основано на распределении напряжений при увеличении нагрузок в соответствии с рис. 2.31, б. Для теоретического решения принималось упрощенное распределение напряжений, показанное на рис. 2.31, с. При этом получено значительно большее влияние поперечной силы, чем в других решениях (на рис. 2.34 результаты показаны штриховыми линиями с короткими штрихами). Окончательное уравнение предельной поверхности взаимодействия между силовыми факторами в сечении, полученное из этого решения, имеет вид
Предпосылку о распределении напряжений σ и τ, согласно рис. 2.32, применил З. Соботка. Условия равновесия при использовании этой предпосылки имеют вид
Напряжения σ и τ должны удовлетворять условию пластичности (1.26), которое при подстановке τ из уравнения (2.125) выражается формулой
Результатом решения трех условий равновесия с учетом формулы (2.127) является уравнение
Пространственным график уравнения (2.128) приведен на рис. 2.34 сплошными линиями.
С. Шмиржак распространил свое решение для изгиба и сдвига на случай изгиба, сдвига и растяжения (сжатия).
Основная формула (2.26), полученная с учетом нормальных напряжений от N, имеет вид:
В результате подстановки формулы (2.129) в условие пластичности (1.26) было получено дифференциальное уравнение для вычисления касательных напряжений τ. Два характерных распределения напряжений σ и τ приведены на рис. 2.33. Решением интегралов вида (2.60) и (2.61) для заданного значения продольной силы С. Шмиржак определил предельный изгибающий момент MplN1 и предельную поперечную силу численные значения которых показаны на рис. 2.34 штриховыми линиями, с длинными штрихами.
Двутавровое сечение с двумя осями симметрии. Нагружение изгибающим моментом Mx,поперечной T и продольной N силами. Как при действии изгибающего момента Mx и поперечной силы Ty , так и в рассматриваемом случае, решение и его результаты зависят от трактовки критерия полного использования несущей способности сечения и от принимаемых предпосылок. Для упрощения записи в обозначении изгибающих моментов опустим индекс х, а в обозначении поперечных сил - индекс у.
Рассмотрим простейшее решение, основанное на трактовке полного исчерпания несущей способности сечения, как пластификации всего сечения; при этом считаем, что касательные напряжения воспринимаются только стенкой. Эпюры напряжений в сечении имеют вид прямоугольников.
Рассмотрим два случая: а) нейтральная ось проходит в стенке; б) нейтральная ось проходит в поясе.
Получим решение для неоднородного сечения, с пределом текучести поясов σfl,p и стенки σfl,s (рис. 2.35 и 2.36).
Для случая когда нейтральная ось проходит в стенке, условия равновесия внешних и внутренних сил и моментов записываются в виде
Подстановкой значения касательных напряжений τs из формулы (2.131) в условие пластичности (1.26) получим формулу для определения напряжений σs в стенке:
Из условий равновесия (2.130)—(2.132) и (2.133) приходим к окончательному уравнению поверхности взаимодействия между приведенными силовыми факторами в сечении в виде одной из следующих формул:
Полученные результаты показывают, что структура приведенных уравнений такая же, как и уравнений (2.101) — (2.103) для совместного действия изгибающего момента Mx и продольной силы N. Различие заключается только в том, что при определении частей предельного изгибающего момента Mpl,sT и продольной силы Npl,sT напряжения удовлетворяют условию пластичности (2.133).
Условие взаимодействия между силовыми факторами MplNT и NplMT, как это следует из формулы (2.135), зависит от отношения Npl,p /Npl,sT и dp/hs; при этом Npl,sT является функцией не только предела текучести и размеров стенки, но также величины TplMN.
Если принять Npl,p=0, то получим уравнение для прямоугольного сечения (2.128).
Случай, когда нейтральная ось проходит в поясе, показан на рис. 2.36. Условия равновесия
совместно с условием пластичности (2.133) являются необходимой системой уравнений для определения уравнения взаимодействия между всеми тремя силовыми факторами.
После исключения из уравнений (2.137) и (2.139) и преобразований их с учетом (2.133) получим
Эта формула является обобщением формулы (2.106) .
Нагружение изгибающим моментом Mу, поперечной T и продольной N силами. Предполагаем, что касательные напряжения действуют только в поясах (рис. 2.37,b и рис. 2.38,b); распределение напряжений принято прямоугольным.
С учетом соотношений между воздействием изгиба, сдвига и растяжения (сжатия) необходимо исследовать два случая: а) преобладание влияния изгиба, когда нейтральная ось проходит в стенке; б) преобладание влияния растяжения (сжатия) когда нейтральная ось пересекает пояса.
Случай, когда нейтральная ось проходит в стенке, показан на рис. 2.37. Для принятого распределения напряжений, согласно рис. 2.37, b, с, условия равновесия имеют вид
Определяя из формулы (2.142) τp и подставляя его в уравнение (1.26), получим условие пластичности для поясов
После преобразования с учетом выражения (2.144) зависимостей (2.141)-(2.143) окончательно получим
Случай, когда нейтральная ось пересекает пояса, показан на рис. 2.38. Исходные условия равновесия
Условие пластичности в поясах такое же, как и в предыдущем случае, см. формулу (2.144).
С учетом выражений (2.146) — (2.148) и (2.144) получено уравнение предельной кривой взаимодействия между силовыми факторами в сечении:
в котором сохранены те же обозначения, что и в уравнении (2.145).
Полученные уравнения для предельных поверхностей взаимодействия между значениями силовых факторов в двутавровом сечении Мpl,xNT, Tpl,yMN и NplMT (2.135) и (2.140), а также Mpl,yNT, Tpl,xMN и NplMT (2.145) и (2.149) зависят от отношений пределов текучести в поясах и стенке, площадей пояса Fp и стенки Fs и толщины пояса dp к высоте стенки hs.
Структура этих уравнений такая же, как и уравнений (2.102), (2.106), (2.109) и (2.112), в которых не учитывалось влияние сдвига.
С учетом изложенного для графического изображения отношения Mpl,xNT/Mpl,xT-NplMT/NplT можно использовать рис, 2.27, в котором вместо Fp/Fs необходимо принять Npl,p/Npl,sT. Отношение Мpl,yNT/Mpl,yT-NplMT/NplT можно представить с помощью рис. 2.29, где вместо Fe/Fs и dp/hs необходимо принять соответственно Npl,fT/Npl,s и (σfl,pT dp)/(σfl,s hs).
Все уравнения для предельных поверхностей взаимодействия можно представить в относительных параметрах с учетом предельных величин для простого нагружения Mpl,x, Mpl,y и Npl; однако при этом окончательные уравнения имеют еще более сложный вид, чем приведенные. В то же время применение этих величин при проведении вычислений оказывается более простым.
На рис. 2.39 сплошными линиями показана предельная поверхность взаимодействия между Mpl,xNT/Mpl,x, , Tpl,yMN/Tpl,y и NplMT/Npl для однородного двутаврового сечения, с параметрами Fp/Fspl = 1 и dp/hs = 0,05.
Поскольку предполагалось, что касательные напряжения воспринимает только стенка, а полное исчерпание несущей способности происходит в результате текучести всего сечения при Tpl,yMN/Tpl,y = 1, два других силовых фактора не могут быть равны нулю.
Расчетные формулы для поверхностей взаимодействия. Выведенные уравнения предельных поверхностей взаимодействия являются весьма сложными для практических расчетов.
Кроме того, они получены в предположении достижения текучести одних частей сечения в результате действия нормальных и касательных напряжений, а других — только нормальных напряжений, в то время как требуется получить полную пластификацию сечения.
Необходимо также отметить особенности исчерпания полной несущей способности двутаврового сечения при изгибе и сдвиге по Б .М. Броуде, А.И. Стрельбицкой и П. Югасу, которые пришли к заключению, что при достижении предельной силы Tpl сечение не способно воспринимать изгибающий момент.
Использование таких или подобных им предпосылок привело бы к еще более сложным результатам, чем полученные. Поскольку нашей задачей является получить простые, но вместе с тем достаточно точные для практики зависимости, обратимся к выводу эмпирических формул, которые учитывали бы отмеченные особенности.
Расчетные формулы для однородного сечения. Основой для получения эмпирических формул может служить известная нам структура уравнений (2.128) для прямоугольного сечения при действии всех трех силовых факторов, а также уравнение (2.115) для комбинации изгиба и растяжения. В предельном случае при NplMT/Npl→0 предполагаем, что справедливо уравнение Б.М. Броуде (2.80).
Этим требованиям удовлетворяет формула
Пространственное изображение предельной поверхности взаимодействия (2.150) для двутаврового сечения с параметрами Fp/Fs=1,0, dp/hs=0,05, j=1,5 и α=0,9, приведено на рис. 239 штриховыми линиями. На этом рисунке показаны также различия в изгибающих моментах, полученных на основе уравнений (2.135) и (2.140) и по формуле (2.150).
Для прямоугольного сечения необходимо принять α=0, j=2,0; при этом φTN=vNTM и формула (2.150) переходит в формулу (2.128).
Расчет согласно ЧСН 73 1401. В соответствии с ЧСН 73 1401 влияние поперечной и продольной сил на предельный изгибающий момент Mpl, как правило, не учитывается.
Если принять Mpl,xNT=Мx, Tpl,yMN=Ty и NplMT=N (где Mx — изгибающий момент, Ty — поперечная сила и N — продольная сила в сечении от расчетной нагрузки) , то условие безопасности по нормам выражается формулой
При вычислении Mpl,x и Npl в нормах вместо предела текучести σfl принимается расчетное сопротивление R.
Формула (2.151) дает приемлемые для практики результаты, как правило, с некоторым запасом надежности, если одновременное влияние поперечной и продольной сил не очень велико. В противном случае необходимо учитывать их взаимное действие, например, по формуле (2.150). Однако такой случая в практике проектирования встречается достаточно редко.
Формула (2.151) является частным случаем более общей приближенной формулы
которая устанавливает линейную зависимость между изгибающими моментами Mx и My.
Коэффициент φТ,х учитывает влияние поперечной силы Ty, а φТ,у — влияние поперечной силы Тх.