Главная
Новости
Строительство
Ремонт
Дизайн и интерьер
Каркасный дом
Несущие конструкции
Металлические конструкции
Прочность дорог
Дорожные материалы
Стальные конструкции
Грунтовые основания
Опорные сооружения





















Яндекс.Метрика

Элемент, подверженный действию изгиба и сдвига

При поперечном изгибе в сечении действуют изгибающий момент M и поперечная сила T, которым соответствуют нормальные напряжения σх=σ и касательные напряжения τху=τух=τ. Нормальные напряжения σу учитывать не будем, поскольку при равномерно распределенной нагрузке влиянием их можно пренебречь, а при сосредоточенных силах нагрузка, как правило, приложена к балке в местах постановки поперечных ребер жесткости.
При рассматриваемом нагружении необходимо определить условие пластической несущей способности сечения, а также построить кривую взаимодействия изгибающего момента M и поперечной силы Т.
Перечень решений этих задач, предложенных - разными авторами, и их классификация приведены в работе. Отметим главные принципы и результаты решений, которые содержатся в нормах ЧСН 73 1401 и некоторых зарубежных нормах.
Элемент, подверженный действию изгиба и сдвига

Основные решения получим на основе анализа постепенной текучести сечений при возрастании нагрузки. Зависимости между напряжениями σ и τ в большинстве случаев пропорциональны, в связи с чем можно рассматривать их непрерывное изменение при постепенном нагружении.
Замкнутое аналитическое решение рассматриваемой задачи вызывает трудности, зачастую непреодолимые. Применение ЭВМ позволило дать численное решение, основанное на исследовании постепенной текучести малых площадок площади сечения, на которые оно разделено.
Вместо указанного трудоемкого решения можно сразу получить результат в конечном виде на основе статического и кинематического принципов теории пластичности, которые дают нижний и верхний пределы решения.
Основой всех решений является использование условий равновесия и пластичности.
Условия равновесия внутренних сил в плоском элементе постоянной толщины без внешней нагрузки (рис. 2.14) имеют вид
Элемент, подверженный действию изгиба и сдвига

Элемент, подверженный действию изгиба и сдвига

Условие равновесия между внешними и внутренними изгибающими моментами в сечении выражается формулой
Элемент, подверженный действию изгиба и сдвига

Условие равновесия поперечных сил имеет вид
Элемент, подверженный действию изгиба и сдвига

Поскольку основным результатом решения будет определение пластической несущей способности сечения при одновременном действии напряжений σ и τ, очевидно, что на значение предельного изгибающего момента оказывает влияние поперечная сила, и наоборот. Предельные значения момента и поперечной, силы при их совместном действии обозначим соответственно Мpl и Tpl.
Основы теоретических решений. Прямоугольное сечение. Рассматриваемая задача была решена А.Р. Ржаницыным и П.Г. Ходжем, которые использовали вариационный метод расчета для исходных уравнений (2.58) и (2.59) с учетом граничных условий, а также условие пластичности (1.26). В результате решения были получены эпюры распределения напряжений по высоте сечения (рис. 2.15,а).
Зависимости для предельных значений изгибающего момента и поперечной силы в параметрической форме получены в следующем виде:
Элемент, подверженный действию изгиба и сдвига

Результаты, полученные для семи значений указанного параметра, изображены на рис. 2.16. В работе Б. М. Броуде зависимости между напряжениями и относительными деформациями приняты в следующем виде:
Элемент, подверженный действию изгиба и сдвига

Элемент, подверженный действию изгиба и сдвига

Кроме того, в работе использовались уравнения равновесия (2.56) и условие пластичности (1.26).
Результатом решения являются эпюры распределения напряжений по высоте сечения (см. рис. 2.15,b) и относительные значения
Элемент, подверженный действию изгиба и сдвига

Элемент, подверженный действию изгиба и сдвига

Из решения эллиптических интегралов (2.63) и (2.64) для заданных значений параметра α получены соответствующие значения отношений MplT/Mpl и TplM/Tpl, некоторые из которых показаны на рис. 2.16 черными кружками. Для полученных дискретных результатов в работе предложена аппроксимирующая функция вида
Элемент, подверженный действию изгиба и сдвига

(кривая 1 на рис. 2.16).
Используя условия равновесия (2.56) и (2.57), С. Шмиржак выразил нормальные напряжения в виде
Элемент, подверженный действию изгиба и сдвига

Подставляя формулу (2.66) в условие пластичности (1.26), он с помощью параметра α=M/(Th) получил дифференциальное уравнение для определения касательных напряжений, из решения которого найдено распределение напряжений, изображенное на рис. 2.15, с.
Значение параметра α=√3/π=0,55 является границей, показывающей, когда преобладающим является изгиб, а когда — сдвиг (рис. 2.15, с). Зависимости для предельных значений изгибающего момента и поперечной силы имеют следующий вид (кривая 2 на рис. 2.16) :
Элемент, подверженный действию изгиба и сдвига

К решениям, устанавливающим расчетным путем распределение напряжений σ и τ, относится и решение Н.К. Снитко, который исходил из предположения о том, что отношение σ/τ в пластическом состоянии постоянно и остается таким же, как в упругой стадии работы, т.е.
Элемент, подверженный действию изгиба и сдвига

Используя эти отношения и условие пластичности (1.26), H.К. Снитко получил зависимости для напряжений σ и τ, а затем с помощью уравнений (2.58) и (2.59) и для изгибающего момента и поперечной силы.
Отношения изгибающих моментов TplT/Tpl и поперечных сил TplM/Tpl зависят от параметра MplT/(TplhM), для нескольких значений которого результаты решения приведены в виде незачерненных кружков на рис. 2.16.
Вторая группа решений рассматриваемой задачи для прямоугольного сечения основана на принимаемых предположениях о распределении напряжений σ и τ.
З. Соботка и А.И. Стрельбицкая исходили из предположения о распределении напряжений в соответствии с рис. 2.15.d.
Поскольку напряжения σ и τ приняты постоянными, то из формул (2.58) и (2.59) получим
Элемент, подверженный действию изгиба и сдвига

Элемент, подверженный действию изгиба и сдвига

Определяя из выражений (2.72) σ и τ и подставляя их значения в условие пластичности (1.26), получим уравнение кривой взаимодействия между изгибающим моментом МplT и поперечной силой TplM в следующем виде:
Элемент, подверженный действию изгиба и сдвига

Графически это уравнение представлено кривой 3 на рис. 2.16.
Несколько модифицированное предположение о распределении напряжений принимает П. Югас (см. рис. 2.15, e). Полученная при этом предельная кривая взаимодействия между изгибающим моментом и поперечной силой дана на рис. 2.16 (кривая 4).
Рассмотрим теперь решения для прямоугольного сечения при изгибе и сдвиге в предположении, что касательные напряжения действуют только на части сечения. Такую предпосылку о распределении τ (рис. 2.17, а) принимали Н.И. Безухов, Н.Д. Жудин, Ж. Бекер, М. Хорн и Ж. Хейман, Б.Г. Нил. Из решения задачи с использованием уравнения (2.17) получим:
Элемент, подверженный действию изгиба и сдвига

Подставляя в первое уравнение значение y0 из второго уравнения, получим окончательно
Элемент, подверженный действию изгиба и сдвига

(кривая 5 на рис. 2.16).
Расстояние У0≤h/Z ; отсюда следует, что уравнение (2.75) справедливо только до значения TplM/Tpl=2/3.
Другое решение, полученное CA. Пальчевским (2.19) и основанное на предпосылке о распределении напряжений в соответствии с рис. 2.17, b (см. также рис. 2.31), имеет вид
Элемент, подверженный действию изгиба и сдвига

Исключая из этих уравнений e0, получим уравнение предельной кривой взаимодействия:
Элемент, подверженный действию изгиба и сдвига

(кривая 6 на рис. 2.16) .
В соответствии с двумя последними решениями влияние сдвига оказывается более существенным по сравнению с предыдущими более точными решениями.
Двутавровое сечение с двумя осями симметрии. Анализом пластической несущей способности двутаврового сечения при изгибе и сдвиге занимались многие авторы. В соответствии с принимаемыми предпосылками разделим эти работы на два основных направления.
В работах первого направления критерием несущей способности сечения является образование пластического шарнира в стенке; касательные напряжения в поясах не учитываются. Для работ второго направления характерным является полная пластификация всего сечения; при этом касательные напряжения учитываются в стенке и в поясах или только в стенке.
К первому направлению относится работа Б.М. Броуде, который при решении задачи для двутаврового сечения использовал предпосылки, принятые для прямоугольного сечения; при этом касательные напряжения в поясах не учитывались. Были рассмотрены два случая:
а) если влияние изгибающего момента является преобладающим, то текучесть в поясах наступает еще до полного использования несущей способности сечения;
б) в противном случае текучесть начинается в стенке возле нейтральной оси; при полном использовании несущей способности сечения в результате образования пластического шарнира в стенке пояса могут находиться в упругом или пластическом состояниях.
Элемент, подверженный действию изгиба и сдвига

Предельные значения изгибающего момента MplT/Mpl и поперечной силы TplM/Tpl определяются по формулам
Элемент, подверженный действию изгиба и сдвига

В результате решения зависимостей (2.78) и (2.79) были определены численные значения предельных силовых факторов для различных значений β. Эти результаты показаны на рис. 2.18 сплошными ломаными кривыми. Штриховые кривые устанавливают приближенную зависимость для предельных значений MplT и TplM следующего вида:
Элемент, подверженный действию изгиба и сдвига

Элемент, подверженный действию изгиба и сдвига

Автором иного решения этого направления является П. Югас, который принимал распределение напряжений по высоте стенки в соответствии с рис. 2.15, е. При этом он предполагал, что при пропорциональном увеличении силовых факторов в сечении одновременно появляется текучесть как у краев стенки из-за преобладающего действия нормальных напряжений σ, так и у середины ее вследствие преобладающего действия касательных напряжений τ. Место слияния двух пластических областей является границей распределения напряжений, которая удалена от нейтральной оси на расстояние y0.
Выполненное решение и полученные результаты являются особым случаем расчета неоднородного двутаврового сечения, которое имеет различные пределы текучести в стенке и поясах. Подробно этот случай будет разобран в п. 2.4.1.3; здесь же мы рассмотрим графическое представление зависимостей между MplT/Mpl и TplM/Tpl для отношения размеров поперечного сечения h0/hs = 1,025 (рис. 2.19).
Ко второму направлению относится работа A.И. Стрельбицкой, где исходной является предпосылка H.К. Снитко о постоянном отношении σ/τ, согласно уравнению (2.71), и при этом учитываются касательные напряжения как в поясах τxz, так и в стенке τyz; с окончательным решением можно познакомиться в работе. Результаты графически представлены на рис. 2.20 сплошными и штриховыми кривыми.
Простое решение задач этого направления можно получить, предполагая, что для касательных и нормальных напряжений в стенке выполняются условия соответственно τ≤τfl и σ≤σfl (см. рис. 2.15, d), а в поясах нормальные напряжения равны σfl. Эту предпосылку принимали Ж. Хейман и В. Даттон, З. Соботка и А.И. Стрельбицкая.
Изгибающий момент и поперечная сила при работе сечения за пределом упругости определяются по формулам
Элемент, подверженный действию изгиба и сдвига

Элемент, подверженный действию изгиба и сдвига

Из условия пластичности (1.26) с учетом уравнения (2.82) следует:
Элемент, подверженный действию изгиба и сдвига

Подставляя σ в уравнение (2.81) и после преобразований принимая
Элемент, подверженный действию изгиба и сдвига

получим уравнение предельной кривой взаимодействия между изгибающим моментом MplT и поперечной силой TplM в виде
Элемент, подверженный действию изгиба и сдвига

В формулу (2.86) входят только геометрические размеры поперечного сечения.
Зависимость (2.85) для различных значений ρ показана на рис. 2.20 штрихпунктирными линиями. Как видно из рисунка, для TplM/Tpl=1,0 значение MplT/Mpl≠0. Это следует из предположения о распределении напряжений, так как при TplM=Tpl в уравнения (2.81) и (2.82) необходимо подставить и σ=0 после чего получим MplT≠0.
Неоднородное двутавровое сечение с двумя осями симметрии. Предположим, что предел текучести поясов равен σfl,p, а стенки при этом отношение между этими величинами может быть любым, т.е. σfl,p≥≤σfl,s.
При изгибе со сдвигом бистальных балок, у которых предел текучести поясов значительно больше, чем предел текучести стенки, более слабый элемент сечения (стенка) должен воспринимать практически всю нагрузку от поперечной силы Т, Рассмотрим два направления решения задачи об определении несущей способности сечения, изложенные ранее.
К работам первого направления относится книга Б.М. Броуде. Для доказательства того, что предельная несущая способность сечения определяется образованием пластического шарнира в стенке, автор приводит результаты экспериментальных испытаний однородных балок. Такие же результаты получены и в двух испытаниях балок, выполненных И. Поважаном. Эти результаты представлены на рис. 2.23 точками А и В, которые указывают на значительное влияние поперечных сил на пластическую несущую способность сечения.
Теоретическое решение получено также П. Югасом, который принимал, что предел текучести стенки σfl,s меньше, чем предел текучести поясов σfl,p. Приведем здесь основные результаты этого решения.
В случае преобладания изгиба, когда текучесть наблюдается в стенке и поясах, распределение напряжений принималось по рис. 2.21, а; при преобладании сдвига с текучестью в стенке распределение напряжений принималось по рис. 2.21, 5. Распределение касательных напряжений Г на участке стенки около нейтральной оси высотой 2уо принималось таким, чтобы с учетом нормальных напряжений σ в каждой точке выполнялось условие пластичности (1.26).
В крайних частях стенки, где действуют оба напряжения, их отношение принималось постоянным и равным
Элемент, подверженный действию изгиба и сдвига

Уравнение кривой взаимодействия изгибающего момента MplT/Mpl и поперечной силы TplM/Tpl с использованием параметра α0 имеет вид:
Элемент, подверженный действию изгиба и сдвига

а) если текучесть охватывает все сечения (см. рис. 2.21, a)
Элемент, подверженный действию изгиба и сдвига

Элемент, подверженный действию изгиба и сдвига

б) если текучесть распространяется только в стенке (см. рис. 2.21, в).
Элемент, подверженный действию изгиба и сдвига

В формулах (2.89) и (2.90)
Элемент, подверженный действию изгиба и сдвига

Из решения уравнений (2.88) - (2.90) для наиболее часто применяемого двутаврового сечения (Fp/Fs=0,6; h0/hs=1,025) полнены результаты, показанные на рис. 2.22. Кривые для значений MplT/Mpl, близких к 1,0, получены из решения уравнения (2.89); кривые для больших значений TplM/Tpl - из решения уравнения (2.90). Из рисунка следует, что с увеличением отношения σfl,p/σfl,s увеличивается влияние текучести в стенке.
Результаты для однородного сечения (см. рис. 2.19) получены из решения уравнений (2.88)-(2.90) при σfl,p=σfl,s; для прямоугольного сечения результаты получены при Fp/Fs=0, h0/hs=1,0 и σfl,p/σfl,s=1,0 (кривая 4 на рис. 2.16).
Рассмотрим работы второго направления. Простое решение пластической несущей способности сечения может быть получено с использованием предпосылки о распределении напряжений, согласно рис.2.21, с.
Элемент, подверженный действию изгиба и сдвига

Значения изгибающего момента и поперечной силы при работе сечения за !пределом упругости определяются по формулам
Элемент, подверженный действию изгиба и сдвига

Тем же способом, который использовался для преобразования уравнений (2.81) и (2.82), с учетом различных пределов текучести получим
Элемент, подверженный действию изгиба и сдвига

Предельные кривые, полученные на основе решения уравнения (2.93) для отношений σfl,p/σfl,s = 1,0, 2,0 и 3,0, приведены на рис. 2.23, из которого следует, что с увеличением отношения пределов текучести уменьшается влияние поперечных сил на несущую способность сечения. Это является логическим выводом из предположения о текучести в поясах: увеличение предела текучести поясов приводит к тому, что стенка становится менее важным элементом в сечении.
Элемент, подверженный действию изгиба и сдвига

К такому же результату приходит П. Югас для случая исчерпания несущей способности сечения при достижении текучести в стенке и поясах.
Расчет элемента при изгибе со сдвигом, согласно ЧСН 73 1401. Непосредственное применение теоретических результатов для практических расчетов вызывает большие сложности. Поэтому ЧСН 73 1301 разрешают вместо теоретических результатов применять более простые условия надежности конструкции, которые обоснованы точными решениями и обеспечивают безопасность конструкций.
В нормах ЧСН 73 1401/1966 использовалось уравнение Б.М. Броуде (2.80) при (α=2/3, что соответствует β=0,6 и Fp/Fs=0,17 (см. рис. 2.18).
С учетом требований метода предельных состояний в нормах принято: вместо предела текучести σfl расчетное сопротивление R; вместо τfl значение 0,6 R; вместо величин MplT и TplM значения изгибающего момента M и поперечной силы T от расчетных нагрузок. При этом уравнение (2.80) преобразуется в нормируемое условие следующего вида:
Элемент, подверженный действию изгиба и сдвига

При малых значениях поперечной силы ее влияние на несущую способность сечения проявляется мало, поэтому нормы разрешали это влияние не учитывать, если τ≤0,3R (T/Tpl≤0,5).
Условие (2.94) применялось только для двутаврового сечения при нагрузке, действующей в плоскости стенки. Отношение Fp/Fs=0,17 в практике проектирования почти не встречается, и поэтому условие (2.94) обеспечивает излишний резерв безопасности. При значении T/Tpl=0,5 не была обеспечена непрерывность кривых взаимодействия, что было исправлено при разработке ЧСН 73 1401/1976.
Уточненное условие для расчета сечений при поперечном изгибе в одной из главных плоскостей имеет вид
Элемент, подверженный действию изгиба и сдвига

Здесь α=0,7 для двутаврового сечения, изгибаемого в плоскости стенки, и α=0 для других случаев.
Влияние поперечной силы на несущую способность сечения можно не учитывать (φт=1,0).
а) для двутаврового сечения, изгибаемого в плоскости стенки, при Т/Тpl≤0,5;
б) в других случаях, при T/Tpl≤0,3.
Число 0,95 в правой части зависимости (2.95) является коэффициентом условий работы, который вводится с целью снижения предельного изгибающего момента на 5% для уменьшения вероятности появления чрезмерных перемещений.
Если в уравнении (2.95) учитывать только равенство, то после простых преобразований получим
Элемент, подверженный действию изгиба и сдвига

Эта зависимость для прямоугольного сечения (α=0) переходит в уравнение (2.73) , а для двутаврового сечения - в уравнение (2.80) при β=0,38 или Fр/Fs=0,4 (рис. 2.24) .
Для неоднородного сечения, если пояса и стенка выполнены из стали одного класса, но с различным расчетным сопротивлением (например, из стали класса 37 — пояса толщиной более 25 мм с Rp=200 Н/мм, а стенка толщиной до 25 мм с Rs=210 Н/мм2), при определении Mpl=RZ и Tpl=0,6RFs принимается меньшее расчетное сопротивление R.
Если пояса выполнены из стали более высокой прочности, чем стенка, то расчет производится по формуле (2.95) при выполнении условия
Элемент, подверженный действию изгиба и сдвига

Верхний предел отношения T/Tpl, согласно этому условию, означает, что рассматриваемая комбинация сталей возможна в случаях, когда несущая способность сечения реализуется в результате текучести как поясов, так и стенки. Рекомендовать использование несущей способности сечения при текучести только в стенке нецелесообразно, так как в этом случае не используется полностью более прочный материал в поясах.
Условие (2.97) следует из решения П. Югаса, при этом верхний предел отношения T/Tpl соответствует точкам излома кривых на рис. 2.22.
Элемент, подверженный действию изгиба и сдвига

Имя:*
E-Mail:
Комментарий: