Главная
Неспособность материала мягкой оболочки сопротивляться изгибу и сжатию влияет решающим образом на ее напряженное состояние. Во-первых, оно может быть только безмоментным, во-вторых, развивающиеся в оболочке нормальные усилия не могут быть сжимающими. Если оболочка выкроена так, что при действии системы нагрузок описанное состояние не возникает, то она принимает такую единственно возможную равновесную форму, которая исключает явления изгиба и сжатия. Если оба главных натяжения оболочки являются растягивающими, то ее напряженное состояние называется двухосным. Если одно из главных натяжений оказывается сжимающим (по деформациям), то напряженное состояние оболочки будет одноосным.
Нулевые усилия одновременно в двух направлениях невозможны.
Одноосное напряженное состояние не характерно для пневматических строительных конструкций, хотя вполне возможно и часто возникает при действии временных нагрузок (например, ветра). Оно не охватывает всю поверхность оболочки, а является местным, и области одноосного напряжения соприкасаются с областями двyxосного напряжения. Оболочка в каждой из этих областей рассчитывается раздельно, с учетом выполнения на их границах условий сопряжения, заключающихся в равенстве между собой больших главных натяжений и равенстве нулю второго главного натяжения двухосной области, а также условия непрерывности координат и их первых производных (условия гладкости).
Разрабатывая общую теорию оболочек, проф. С.А. Алексеев сформулировал три ее основные задачи.
Первая: задана форма оболочки в конечном состоянии под действием известных нагрузок; требуется определить начальную (раскройную) форму. Задача сравнительно проста и требует в общем случае интегрирования двух систем линейных дифференциальных уравнений первого порядка в частных производных; для оболочек вращения решается с помощью одной квадратуры. Для целей строительной практики задача нетипична, хотя в ней можно усмотреть возможные пути решения других, прямых (но обратных этой) задач путем попыток.
Вторая: определение конечной формы оболочки по известным нагрузкам и заданной начальной форме. При решении задачи возникают значительные математические трудности: приходится иметь дело с нелинейными дифференциальными уравнениями в частных производных второго порядка со сложной структурой.
Третья: известно исходное состояние оболочки (нагрузки, форма, напряжения). Требуется определить конечную форму и напряжения, возникающие под действием дополнительной системы нагрузок. Эта задача открывает пути разработки практических методов расчета, основанных на тех упрощениях, которые становятся возможными, если приращения напряжений и изменения формы оболочки под действием дополнительной системы нагрузок считать малыми. Тогда можно получить систему линейных (линеаризированных) уравнений, интегрирование которых хотя и сложно, но при использовании численных методов вполне доступно.
Многочисленные попытки разработки теории расчета мягких оболочек развиваются в трех основных направлениях, которые можно назвать математической, технической и элементарной теориями.
Математическая теория отличается наиболее строгим подходом. Ее цель — определение напряженно-деформированного состояния оболочки с учетом нелинейных связей как между усилиями и деформациями (физическая нелинейность), так и между деформациями и перемещениями (геометрическая нелинейность). Теорию отличает большая сложность уравнений, которая существенно возрастает при дальнейших уточнениях расчетных парам, например учете анизотропии и реологических свойств материалов, изменений нагрузок при формоизменениях оболочки или, наконец, при больших ее деформациях. Эта теория приводит к двухмерным краевым задачам, содержащим сложные нелинейные системы дифференциальных уравнений в частных производных.
Исследования деформаций безмоментной оболочки в краевой зоне, выполненные Ю.Н. Работновым, открыли возможность построения так называемых технических теорий, где напряженно-деформированное состояние оболочки разбивается на два — основное и дополнительное. Основное может быть описано уравнениями безмоментной линейной теории, дополнительное — системой уравнений, линеаризованных относительно основной.
Элементарная теория основана на линейной безмоментной теории оболочек, исключающей все физические и геометрические факторы, приводящие к нелинейным зависимостям. Материал оболочки считается нерастяжимым, геометрия — неизменной; краевой эффект не учитывается. Это позволяет применить весь арсенал формул классической безмоментной теории к оболочкам, которым не присущи разрывы непрерывности в нагрузках, кривизне, а также толщине или жесткости материала.
Стоит упомянуть еще об одном пути решения задачи расчета воздухоопорных оболочек — моделировании. Оно прекрасно решает задачи нахождения формы оболочки при статических и аэродинамических нагрузках. Однако тензометрические задачи моделированием решаются гораздо хуже.
Математическая теория мягких оболочек в настоящее время развивается в основном на базе III гипотезы о свойствах материалов. Несмотря на то, что при этом исключаются дополнительные трудности, связанные с физической нелинейностью материала и реологическими явлениями, ее задачи остаются чрезвычайно сложными. В принципе они разрешимы (если признаком разрешимости считать наличие достаточного числа уравнений). Проф. В. Э. Магула, например, приводит систему 11 уравнений (три уравнения равновесия, три условия Петерсона — Кодацци и Гаусса, три уравнения физических соотношений и два — связи координат) для нахождения следующих 11 неизвестных: трех погонных компонентов внутренних усилий — нормальных и касательных (T1, T2, S), двух коэффициентов первой квадратичной формы деформированной поверхности (А, В), трех коэффициентов второй квадратичной формы (L, М, N), одного координатного угла двух степеней удлинения элемента в направлении первой и второй координаты (λ1, λ2). Система предназначена для определения напряженно-деформированного состояния геометрически изменяемых и неизменяемых мягких оболочек и дает полное о нем представление при известных геометрических и статических граничных условиях.
Однако интегрирование нелинейных дифференциальных уравнений высокого порядка в частных производных сталкивается с трудностями, несравненно большими, нежели их составление. Достижения математической теории мягких оболочек ограничиваются решением узкого круга задач, в которых интегрирование уравнений выполняется сравнительно просто. Это длинные цилиндрические оболочки с нагрузкой, постоянной вдоль образующей (что дает возможность свести задачу к одномерной, типа мягкого кольца), или оболочки вращения с осесимметричной нагрузкой — единственный вариант двухмерной задачи.
Попытки расчета оболочек иных форм, даже таких сравнительно несложных и распространенных, как цилиндрические со сферическими или цилиндрическими окончаниями, методами математической теории мягких оболочек пока что оказываются бесплодными.
