Сведение из теории поверхностей

Положение рассматриваемой точки на поверхности оболочки определяется пересечением двух линий — ее криволинейных координат (рис 4.1). Если через точку A провести нормаль к поверхности и принять ее за ось r, а оси х и у (на касательной к точке А плоскости) вращать относительно оси z, то можно найти такое положение, когда кривизны К1 и К2 линий mАm' и nАn' на поверхности оболочки, соответствующие криволинейным осям α и β, примут экстремальные значения. В теории поверхностей доказывается, что когда одна из них будет наибольшей, то другая окажется наименьшей. Эти кривизны называются главными, а соответствующие им радиусы

главными радиусами кривизны.

Средней кривизной поверхности называется выражение

Важной характеристикой поверхности является гауссова кривизна:

По этому признаку поверхности оболочки делят на три класса:
I — положительной (Г>0) гауссовой кривизны, т. е. двояковыпуклые, синкластические (сфера, эллипсоид, двухполостный гиперболоид);
II — нулевой (Г=0) гауссовой кривизны — цилиндрические и конические поверхности;
III — отрицательной (Г<0) гауссовой кривизны, т. е. выпукло-вогнутые, антикластические (однополостные гиперболоиды, гиперболические параболоиды).

Существуют оболочки смешанной кривизны, у которых она на различных участках имеет различные знаки (тороидальные и некоторые другие поверхности).
В оболочках вращения одно направление главной кривизны К1 определяется сечением поверхности оболочки плоскостью, проходящей через ось вращения.
Другое направление K2 определяется сечением оболочки плоскостью, перпендикулярной первой и совпадающей с нормалью в рассматриваемой точке. Это сечение составляет угол φ с осью вращения.
На рис. 4.2 изображена оболочка, образованная вращением кривой GND вокруг оси AD. Линии пересечения поверхности вращения плоскостями, проходящими через ось вращения, называются меридианами. Линии пересечения ее плоскостями, перпендикулярными этой оси, — параллелями. Все меридианы одинаковы: все параллели — дуги окружностей.
Рассматривая на оболочке точку N, линию GND считают ее меридианом; окружность, проходящую через N, — ее параллелью. Радиус кривизны NH меридиана в точке N называют первым главным радиусом кривизны R1. Радиус кривизны следа пересечения оболочки плоскостью М, перпендикулярной в точке N к меридиану, считается вторым главным радиусом NB кривизны R2 Оба радиуса лежат на нормали KN.
Если r=r(z) — уравнение меридиана, то для точки N дифференциальная геометрия дает соотношения: