Главная
Новости
Статьи
Ремонт
Каркасный дом
Несущие конструкции
Металлические конструкции
Прочность дорог
Дорожные материалы
Стальные конструкции
Грунтовые основания
Опорные сооружения




27.09.2021


27.09.2021


26.09.2021


26.09.2021


24.09.2021


22.09.2021


21.09.2021





Яндекс.Метрика

Локальная дзета-функция

07.07.2021

Конгруэнц-дзета-функция — прототип для построения важной L-функции Хассе-Вейля, ряд вида

Z ( V , T ) = exp ⁡ ( ∑ k = 1 ∞ N k k T k ) {displaystyle Z(V,T)=exp left(sum limits _{k=1}^{infty }{frac {N_{k}}{k}}T^{k} ight)} ,

построенный на последовательности числа точек N k {displaystyle N_{k}} аффинного или проективного многообразия V {displaystyle V} в конечных полях.

Локальная дзета-функция ζ ( X , s ) = Z ( X , p − s ) {displaystyle zeta (X,s)=Z(X,p^{-s})} . Для неё существует аналог гипотезы Римана.

Определение

Пусть V {displaystyle V} — аффинное или проективное многообразие над конечным полем F q {displaystyle mathbb {F} _{q}} . Конгруэнц-дзета-функция многообразия V {displaystyle V} над F q {displaystyle mathbb {F} _{q}} определяется как формальный степенной ряд

Z ( V / F q , T ) = exp ⁡ ( ∑ k = 1 ∞ N k k T k ) {displaystyle Z(V/mathbb {F} _{q},T)=exp left(sum limits _{k=1}^{infty }{frac {N_{k}}{k}}T^{k} ight)} ,

где exp ⁡ ( u ) = ∑ k = 0 ∞ u k k ! {displaystyle exp(u)=sum limits _{k=0}^{infty }{frac {u^{k}}{k!}}} , а N k {displaystyle N_{k}} — число точек V {displaystyle V} , лежащих в F q k {displaystyle mathbb {F} _{q^{k}}} . Числа N k {displaystyle N_{k}} конечны в силу конечности любого аффинного или проективного многообразия конечной размерности над конечным полем.

Локальной дзета-функцией называется функция ζ ( X , s ) = Z ( X , p − s ) {displaystyle zeta (X,s)=Z(X,p^{-s})} , здесь p {displaystyle p} — характеристика поля F q {displaystyle mathbb {F} _{q}} , s ∈ C {displaystyle sin mathbb {C} } — комплексная переменная.

Примеры

Возьмем уравнение x = 0 {displaystyle x=0} , геометрически это означает, что V {displaystyle V} — это просто точка. В этом случае все N k = 1 {displaystyle N_{k}=1} . Тогда

Z ( V , t ) = exp ⁡ ( ∑ k = 1 ∞ T k k ) = exp ⁡ ( − ln ⁡ ( 1 − T ) ) = 1 1 − T {displaystyle Z(V,t)=exp left(sum limits _{k=1}^{infty }{frac {T^{k}}{k}} ight)=exp(-ln(1-T))={frac {1}{1-T}}}

Пусть V {displaystyle V} — проективная прямая 0 x = 0 {displaystyle 0x=0} над F {displaystyle F} . Если F = F q k {displaystyle F=mathbb {F} _{q^{k}}} , то V {displaystyle V} имеет N k = q k + 1 {displaystyle N_{k}=q^{k}+1} точку: все точки поля и бесконечную точку. Следовательно

Z ( V , T ) = exp ⁡ ( ∑ k = 1 ∞ ( q T ) k k + T k k ) = exp ⁡ ( − ln ⁡ ( 1 − q T ) − ln ⁡ ( 1 − T ) ) = 1 ( 1 − T ) ( 1 − q T ) {displaystyle Z(V,T)=exp left(sum limits _{k=1}^{infty }{frac {(qT)^{k}}{k}}+{frac {T^{k}}{k}} ight)=exp left(-ln(1-qT)-ln(1-T) ight)={frac {1}{(1-T)(1-qT)}}}

Свойства

  • Z ( X , T ) {displaystyle Z(X,T)} представляется в виде бесконечного произведения
Z ( X , T ) = ∏ x ( 1 − T deg ⁡ ( x ) ) − 1 , {displaystyle Z(X,T)=prod limits _{x}(1-T^{deg(x)})^{-1},}

где x {displaystyle x} пробегает все замкнутые точки X {displaystyle X} , а deg ⁡ x {displaystyle deg x} — степень x {displaystyle x} . В случае, если X = V {displaystyle X=V} , которое обсуждалось выше, то замкнутые точки — это классы эквивалентности x = [ P ] {displaystyle x=[P]} точек P ∈ V ¯ {displaystyle Pin {overline {V}}} , где две точки эквивалентны, если они сопряжены над полем F {displaystyle F} . Степень x {displaystyle x} — это степень расширения поля F {displaystyle F} , порождённого координатами P {displaystyle P} . Тогда логарифмическая производная бесконечного произведения Z ( X , T ) {displaystyle Z(X,T)} будет равна производящей функции

N 1 + N 2 t 1 + N 3 t 2 + ⋯ {displaystyle N_{1}+N_{2}t^{1}+N_{3}t^{2}+cdots ,} .
  • Если E {displaystyle E} — эллиптическая кривая, то в этом случае дзета-функция равна
Z ( E / F q , T ) = 1 − 2 a E T + q T 2 ( 1 − T ) ( 1 − q T ) {displaystyle Z(E/mathbb {F} _{q},T)={frac {1-2a_{E}T+qT^{2}}{(1-T)(1-qT)}}}
  • Если ( ∀ k ) N k < C A k {displaystyle (forall k)N_{k}<CA^{k}} , то Z ( T ) {displaystyle Z(T)} сходится в открытом круге радиуса R = A − 1 {displaystyle R=A^{-1}} .
  • Если N k = N k ( 1 ) + N k ( 2 ) {displaystyle N_{k}=N_{k}^{(1)}+N_{k}^{(2)}} , причем Z ( T ) , Z ( 1 ) ( T ) , Z ( 2 ) ( T ) {displaystyle Z(T),Z^{(1)}(T),Z^{(2)}(T)} — соответствующие дзета-функции, то Z ( T ) = Z ( 1 ) ( T ) Z ( 2 ) ( T ) {displaystyle Z(T)=Z^{(1)}(T)Z^{(2)}(T)} .
  • Если N k = β 1 k + . . . + β t k − α 1 k − . . . − α s k {displaystyle N_{k}=eta _{1}^{k}+...+eta _{t}^{k}-alpha _{1}^{k}-...-alpha _{s}^{k}} , то Z ( T ) = ( 1 − α 1 T ) . . . ( 1 − α s T ) ( 1 − β 1 T ) . . . ( 1 − β t T ) {displaystyle Z(T)={frac {(1-alpha _{1}T)...(1-alpha _{s}T)}{(1-eta _{1}T)...(1-eta _{t}T)}}} .

Применение

L-функция Хассе-Вейля определяется через конгруэнц-дзета-функцию следующим образом

L ( V , s ) = ζ ( s ) ζ ( s − 1 ) ∏ p Z ( V / F p , p − s ) {displaystyle L(V,s)={dfrac {zeta (s)zeta (s-1)}{prod limits _{p}Z(V/mathbb {F} _{p},p^{-s})}}}

Гипотеза Римана для кривых над конечными полями

Если C {displaystyle C} — проективная неособая кривая над F {displaystyle F} , то можно показать, что

Z ( C , T ) = P ( t ) ( 1 − T ) ( 1 − q T )   , {displaystyle Z(C,T)={frac {P(t)}{(1-T)(1-qT)}} ,}

где P ( t ) {displaystyle P(t)} — многочлен степени 2 g {displaystyle 2g} , где g {displaystyle g} — род кривой C {displaystyle C} . Представим

P ( t ) = ∏ i = 1 2 g ( 1 − ω i t )   , {displaystyle P(t)=prod limits _{i=1}^{2g}(1-omega _{i}t) ,}

тогда гипотеза Римана для кривых над конечными полями утверждает, что

| ω i | = q 1 / 2 {displaystyle |omega _{i}|=q^{1/2}}

Для локальной дзета-функции это утверждение равносильно тому, что вещественная часть корней ζ ( X , s ) {displaystyle zeta (X,s)} равна 1 / 2 {displaystyle 1/2} .

К примеру, для эллиптической кривой получаем случай, когда существуют ровно 2 корня, и тогда можно показать, что абсолютные значения корня равны q {displaystyle {sqrt {q}}} . Этот случай эквивалентен теореме Хассе об оценке числа точек кривой в конечном поле.

Общие формулы для дзета-функции

Из формулы следа Лефшеца для морфизма Фробениуса получается, что

Z ( X , T ) = ∏ i = 0 2 dim ⁡ X det ( 1 − T Frob q ⁡ | H c i ( X ¯ , Q ℓ ) ) ( − 1 ) i + 1 . {displaystyle Z(X,T)=prod limits _{i=0}^{2dim X}det(1-Toperatorname {Frob} _{q}|H_{c}^{i}({overline {X}},{mathbb {Q} }_{ell }))^{(-1)^{i+1}}.}

Здесь X {displaystyle X} — отделимая схема конечного типа над конечным полем F q {displaystyle mathbb {F} _{q}} , and Frob q {displaystyle operatorname {Frob} _{q}} — геометрическое действие Фробениуса на ℓ {displaystyle ell } -адической этальной когомологии с компактным носителем X ¯ {displaystyle {overline {X}}} . Это показывает, что данная дзета-функция является рациональной функцией T {displaystyle T} .


Имя:*
E-Mail:
Комментарий: