Главная
Новости
Статьи
Ремонт
Каркасный дом
Несущие конструкции
Металлические конструкции
Прочность дорог
Дорожные материалы
Стальные конструкции
Грунтовые основания
Опорные сооружения




04.08.2021


04.08.2021


04.08.2021


03.08.2021


03.08.2021


02.08.2021


31.07.2021





Яндекс.Метрика

Размерность Минковского

22.06.2021

Размерность Минковского или грубая размерность ограниченного множества в метрическом пространстве равна

lim ε → 0 ln ⁡ ( N ε ) − ln ⁡ ( ε ) {displaystyle lim limits _{varepsilon o 0}{frac {ln(N_{varepsilon })}{-ln(varepsilon )}}} ,

где N ε {displaystyle N_{varepsilon }} — минимальное число множеств диаметра ε {displaystyle varepsilon } , которыми можно покрыть наше множество. Если предел не существует, то можно рассматривать верхний и нижний предел и говорить соответственно о верхней и нижней размерности Минковского.

Близким к размерности Минковского понятием является размерность Хаусдорфа. Во многих случаях эти размерности совпадают, хотя существуют множества, для которых они различны.

Примеры

  • размерность конечного множества равна нулю, так как для него ρ ( n ) {displaystyle ho (n)} не превосходит количества элементов в нём.
  • размерность отрезка равна 1, так как необходимо ⌈ a / ϵ ⌉ {displaystyle lceil a/epsilon ceil } отрезков длины ϵ {displaystyle epsilon } , чтобы покрыть отрезок длины a {displaystyle a} . Таким образом, lim ϵ → 0 ln ⁡ ( N ϵ ) − ln ⁡ ( ϵ ) = lim ϵ → 0 ln ⁡ a − ln ⁡ ϵ − ln ⁡ ϵ = 1 {displaystyle lim limits _{epsilon o 0}{frac {ln(N_{epsilon })}{-ln(epsilon )}}=lim limits _{epsilon o 0}{frac {ln a-ln epsilon }{-ln epsilon }}=1} ,
  • размерность квадрата равна 2, так как число квадратиков с диагональю 1 / n {displaystyle 1/n} , необходимых, чтобы покрыть квадрат со стороной a {displaystyle a} , ведет себя примерно как a 2 n 2 {displaystyle a^{2}n^{2}} .
  • размерность фрактального множества может быть дробным числом. Так, размерность кривой Коха равна ln ⁡ 4 / ln ⁡ 3 {displaystyle ln 4/ln 3} .
Более подробно

Неформальное рассуждение, показывающее это, таково. Отрезок можно разбить на 2 части, подобные исходному отрезку с коэффициентом 1/2. Чтобы покрыть отрезок множествами диаметра 1 / n {displaystyle 1/n} , нужно покрыть каждую из половин такими множествами. Но для половины их нужно столько же, сколько для всего отрезка множеств диаметра 2 / n {displaystyle 2/n} . Поэтому для отрезка имеем ρ ( n ) ≈ 2 ρ ( n / 2 ) {displaystyle ho (n)approx 2 ho (n/2)} . То есть, при увеличении n {displaystyle n} в два раза ρ ( n ) {displaystyle ho (n)} увеличивается тоже в два раза. Иными словами, ρ ( n ) {displaystyle ho (n)} — линейная функция.

Для квадрата аналогичное рассуждение дает ρ ( n ) ≈ 4 ρ ( n / 2 ) {displaystyle ho (n)approx 4 ho (n/2)} . То есть, при увеличении n {displaystyle n} в два раза ρ ( n ) {displaystyle ho (n)} увеличивается в 4 раза. Иными словами, ρ ( n ) {displaystyle ho (n)} — квадратичная функция. Наконец, кривая Коха состоит из 4 частей, каждая из которых подобна исходной кривой с коэффициентом 1/3. Поэтому для неё ρ ( n ) ≈ 4 ρ ( n / 3 ) {displaystyle ho (n)approx 4 ho (n/3)} . Подставляя n = 3 k {displaystyle n=3^{k}} , получаем ρ ( 3 k ) ≈ 4 ρ ( 3 k − 1 ) ≈ 4 2 ρ ( 3 k − 2 ) ≈ ⋯ ≈ 4 k ρ ( 1 ) = 4 log 3 ⁡ n ρ ( 1 ) = n ln ⁡ 4 / ln ⁡ 3 ρ ( 1 ) {displaystyle ho (3^{k})approx 4 ho (3^{k-1})approx 4^{2} ho (3^{k-2})approx dots approx 4^{k} ho (1)=4^{log _{3}n} ho (1)=n^{ln 4/ln 3} ho (1)} . Отсюда следует, что размерность равна ln ⁡ 4 / ln ⁡ 3 {displaystyle ln 4/ln 3} .

Формально: пусть n - шаг фрактала, на n-ом шаге у нас будет 4 n {displaystyle 4^{n}} равных отрезков, длиной 3 − n {displaystyle 3^{-n}} . Возьмём за ε отрезок длиной 3 − n {displaystyle 3^{-n}} , тогда чтобы покрыть всю кривую Коха, нам понадобится 4 n {displaystyle 4^{n}} отрезков. Для того, чтобы выполнялось условие ε→0, устремим n→ ∞ {displaystyle infty } . Получим

lim ϵ → 0 ln ⁡ ( N ϵ ) − ln ⁡ ( ϵ ) = lim n → ∞ ln ⁡ ( 4 n ) − ln ⁡ ( 3 − n ) = ln ⁡ 4 ln ⁡ 3 {displaystyle lim limits _{epsilon o 0}{frac {ln(N_{epsilon })}{-ln(epsilon )}}=lim limits _{n o infty }{frac {ln(4^{n})}{-ln(3^{-n})}}={frac {ln 4}{ln 3}}}
  • размерность Минковского множества { 0 , 1 , 1 2 , 1 3 , 1 4 , … } {displaystyle {0,1,{frac {1}{2}},{frac {1}{3}},{frac {1}{4}},dots }} равна 1/2.

Свойства

  • Размерность Минковского конечного объединения множеств равна максимуму из их размерностей. В отличие от размерности Хаусдорфа, это неверно для счётного объединения. Например, множество рациональных чисел между 0 и 1 имеет размерность Минковского 1, хотя является счётным объединением одноэлементных множеств (размерность каждого из которых равна 0). Пример замкнутого счётного множества с ненулевой размерностью Минковского приведён выше.
  • Нижняя размерность Минковского любого множества больше либо равна его размерности Хаусдорфа.
  • Размерность Минковского любого множества равна размерности Минковского его замыкания. Поэтому имеет смысл говорить лишь о размерностях Минковского замкнутых множеств.