Главная
Новости
Статьи
Ремонт
Каркасный дом
Несущие конструкции
Металлические конструкции
Прочность дорог
Дорожные материалы
Стальные конструкции
Грунтовые основания
Опорные сооружения




31.07.2021


30.07.2021


30.07.2021


30.07.2021


30.07.2021


30.07.2021


29.07.2021





Яндекс.Метрика

Мономорфизм

13.06.2021

Мономорфизм ― морфизм m : A → B {displaystyle m:A o B} категории C {displaystyle {mathcal {C}}} , такой что из всякого равенства m ∘ f = m ∘ h {displaystyle mcirc f=mcirc h} следует, что f = h {displaystyle f=h} (другими словами, на m {displaystyle m} можно сокращать слева). Часто мономорфизм из X {displaystyle X} в Y {displaystyle Y} обозначают X ↪ Y {displaystyle Xhookrightarrow Y} .

Двойственным к понятию мономорфизм является понятие эпиморфизма. (При этом чтобы морфизм был изоморфизмом, в общем случае недостаточно биморфности — одновременной мономорфности и эпиморфности.)

Мономорфизмы представляют собой категорное обобщение понятия инъективной функции. Иногда эти определения совпадают, но в общем случае мономорфизм не соответствует инъективной функции.

Связь с обратимостью

Морфизмы, имеющие левый обратный, всегда являются мономорфизмами. Действительно, если l {displaystyle l} — левый обратный к f {displaystyle f} (то есть l ∘ f = id X {displaystyle lcirc f=operatorname {id} _{X}} ), то:

f ∘ g 1 = f ∘ g 2 ⇒ l f g 1 = l f g 2 ⇒ g 1 = g 2 {displaystyle fcirc g_{1}=fcirc g_{2}Rightarrow lfg_{1}=lfg_{2}Rightarrow g_{1}=g_{2}} .

В то же время не все мономорфизмы имеют левый обратный. Например, в категории групп G r p {displaystyle mathbf {Grp} } , если H {displaystyle H} является подгруппой G {displaystyle G} , то вложение f : H → G {displaystyle f:H o G} — всегда мономорфизм, однако левый обратный морфизм f : H → G {displaystyle f:H o G} существует, только если у H {displaystyle H} есть нормальная дополнительная группа (так как ядро гомоморфизма — нормальная подгруппа). Морфизм f : X → Y {displaystyle f:X o Y} является мономорфизмом тогда и только тогда, когда индуцированное отображение f ∗ : H o m ( Z , X ) → H o m ( Z , Y ) {displaystyle f_{*}:mathrm {Hom} (Z,X) o mathrm {Hom} (Z,Y)} , определённое как f ∗ h = f ∘ h {displaystyle f_{*}h=fcirc h} для морфизмов h : Z → X {displaystyle h:Z o X} , инъективно для всех Z.

Связь с инъективностью

Не в каждой категории можно говорить о том, что морфизму соответствует какая-то функция на множествах, однако это так в конкретных категориях. В любой такой категории «инъективный» морфизм будет мономорфизмом. В категории множеств верно и обратное утверждение, мономорфизмы там в точности соответствуют инъективным функциям. Это верно во многих других естественно возникающих в математике категориях благодаря существованию свободного объекта, порожденного одним элементом. Например, это верно в любой абелевой категории.

Однако это верно не всегда. Например, в категории D i v {displaystyle mathbf {Div} } делимых (абелевых) групп с обычными гомоморфизмами групп существуют неинъективные мономорфизмы, например, отображение факторизации q : Q → Q / Z {displaystyle q:mathbb {Q} o mathbb {Q} /Z} .

Типы мономорфизмов

Мономорфизм называется регулярным, если он является уравнителем некоторой пары параллельных морфизмов.

Экстремальный мономорфизм — это мономорфизм, который нельзя нетривиальным образом пронести через эпиморфизм, иными словами, если экстремальный мономорфизм представлен в виде g ∘ e {displaystyle gcirc e} с эпиморфизмом e {displaystyle e} , то e {displaystyle e} — изоморфизм.

Терминология

Пара терминов «мономорфизм» и «эпиморфизм» впервые начала использоваться Бурбаки, причем они использовали «мономорфизм» как сокращение для фразы «инъективная функция». Сегодня практически все математики, занимающиеся теорией категорий, уверены, что правило сокращения, приведенное выше, — это правильное обобщение понятия инъективной функции. Маклейн попытался провести различие между мономорфизмами — морфизмами в конкретной категории, которым соответствует инъективная функция, и англ. monic maps — мономорфизмами в категорном смысле, однако это так и не вошло во всеобщее употребление.