Уравновешенное множество

Множество B {displaystyle B} , принадлежащее векторному пространству V {displaystyle V} , называется уравновешенным (закруглённым, сбалансированным), если для любого скаляра α {displaystyle alpha } , такого что | α | ⩽ 1 {displaystyle |alpha |leqslant 1} , выполняется соотношение

α B ⊂ B , {displaystyle alpha Bsubset B,}

то есть для любого элемента x ∈ B {displaystyle xin B} элемент α x ∈ B {displaystyle alpha xin B} , | α | ⩽ 1 {displaystyle |alpha |leqslant 1} .

Примеры

• Круг на плоскости, шар в R n {displaystyle mathbb {R} ^{n}} с центром в начале координат — выпуклые и уравновешенные множества.
• Прямоугольник в R n {displaystyle mathbb {R} ^{n}} : α i ⩽ x i ⩽ β i , i = 1 , 2 , … , n {displaystyle alpha _{i}leqslant x_{i}leqslant eta _{i},;i=1,;2,;ldots ,;n} — множество выпуклое и, вообще говоря, неуравновешенное.