Вполне упорядоченное множество




Главная
Новости
Статьи
Ремонт
Каркасный дом
Несущие конструкции
Металлические конструкции
Прочность дорог
Дорожные материалы
Стальные конструкции
Грунтовые основания
Опорные сооружения




16.04.2021


16.04.2021


16.04.2021


12.04.2021


12.04.2021


12.04.2021


12.04.2021





Яндекс.Метрика

Вполне упорядоченное множество

08.02.2021

Вполне упорядоченное множество — линейно упорядоченное множество M такое, что в любом его непустом подмножестве есть минимальный элемент, другими словами, это фундированное множество с линейным порядком.

Примеры

  • Пустое множество является вполне упорядоченным.
  • Простейший пример бесконечного вполне упорядоченного множества — множество натуральных чисел с естественным упорядочением.
  • Множество целых чисел не является вполне упорядоченным, так как, например, среди отрицательных чисел нет наименьшего. Однако его можно сделать вполне упорядоченным, если определить нестандартное отношение «меньше или равно», которое обозначим ≼ {displaystyle preccurlyeq } и определим следующим образом:
a ≼ b , {displaystyle apreccurlyeq b,} если либо a = b , {displaystyle a=b,} либо | a | < | b | , {displaystyle |a|<|b|,} либо | a | = | b | {displaystyle |a|=|b|} и a < 0 < b . {displaystyle a<0<b.} Тогда порядок целых чисел будет таким: 0 ≼ − 1 ≼ 1 ≼ − 2 ≼ 2 … {displaystyle 0preccurlyeq -1preccurlyeq 1preccurlyeq -2preccurlyeq 2dots } В частности, − 1 {displaystyle -1} будет наименьшим отрицательным числом.
  • Простейшим примером несчётного вполне упорядоченного множества является совокупность всех счётных порядковых чисел, упорядоченных отношением ∈ {displaystyle in } . В предположении континуум-гипотезы его мощность равна мощности континуума.

Свойства

  • Согласно теореме Цермело, если принять аксиому выбора, то любое множество можно вполне упорядочить. Более того, утверждение о существовании полного порядка для любого множества эквивалентно аксиоме выбора. В частности, при наличии аксиомы выбора, множество вещественных чисел можно вполне упорядочить.
  • Если X и Y — два вполне упорядоченных множества, то либо они изоморфны друг другу, либо ровно одно из них изоморфно начальному отрезку другого.