Континуанта




Главная
Новости
Статьи
Ремонт
Каркасный дом
Несущие конструкции
Металлические конструкции
Прочность дорог
Дорожные материалы
Стальные конструкции
Грунтовые основания
Опорные сооружения




12.04.2021


12.04.2021


12.04.2021


12.04.2021


11.04.2021


11.04.2021


09.04.2021





Яндекс.Метрика

Континуанта

06.02.2021

Континуанта — многочлен от нескольких переменных определённого типа. Известны тождества, связывающие континуанту с цепными дробями.

Определения

Рекурентное

Континуанта индекса n есть многочлен K n ( x 1 , … , x n ) {displaystyle K_{n}(x_{1},;ldots ,;x_{n})} , определяемый рекуррентным соотношением:

K − 1 = 0 , K 0 = 1 , {displaystyle K_{-1}=0,qquad K_{0}=1,} K n ( x 1 , … , x n ) = x n K n − 1 ( x 1 , … , x n − 1 ) + K n − 2 ( x 1 , … , x n − 2 ) . {displaystyle K_{n}(x_{1},;ldots ,;x_{n})=x_{n}K_{n-1}(x_{1},;ldots ,;x_{n-1})+K_{n-2}(x_{1},;ldots ,;x_{n-2}).}

Через определитель

Континуанта может быть также определена как определитель трёхдиагональной матрицы

K n ( x 1 , x 2 , … , x n ) = det ( x 1 1 0 ⋯ 0 − 1 x 2 1 ⋱ ⋮ 0 − 1 ⋱ ⋱ 0 ⋮ ⋱ ⋱ ⋱ 1 0 ⋯ 0 − 1 x n ) . {displaystyle K_{n}(x_{1},;x_{2},;ldots ,;x_{n})=det {egin{pmatrix}x_{1}&1&0&cdots &0-1&x_{2}&1&ddots &vdots &-1&ddots &ddots &0vdots &ddots &ddots &ddots &1&cdots &0&-1&x_{n}end{pmatrix}}.}

Свойства

  • Континуанта K n ( x 1 , … , x n ) {displaystyle K_{n}(x_{1},;ldots ,;x_{n})} есть сумма всех одночленов, получаемых из одночлена x 1 ⋅ … ⋅ x n {displaystyle x_{1}cdot ldots cdot x_{n}} вычеркиванием всевозможных непересекающих пар соседних переменных (правило Эйлера).
    • Пример: K 5 ( x 1 , x 2 , x 3 , x 4 , x 5 ) = x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 + x 3 x 4 x 5 + x 1 x 4 x 5 + x 1 x 2 x 5 + x 1 x 2 x 3 + x 1 + x 3 + x 5 . {displaystyle K_{5}(x_{1},;x_{2},;x_{3},;x_{4},;x_{5})=x_{1}x_{2}x_{3}x_{4}x_{5};+;x_{3}x_{4}x_{5};+;x_{1}x_{4}x_{5};+;x_{1}x_{2}x_{5};+;x_{1}x_{2}x_{3};+;x_{1};+;x_{3};+;x_{5}.}
    • Следствие: Континуанты обладают зеркальной симметрией: K n ( x 1 , … , x n ) = K n ( x n , … , x 1 ) . {displaystyle K_{n}(x_{1},;ldots ,;x_{n})=K_{n}(x_{n},;ldots ,;x_{1}).}
  • K n ( 1 , … , 1 ) = F n + 1 {displaystyle K_{n}(1,;ldots ,;1)=F_{n+1}} — число Фибоначчи.
  • Справедливо тождество: K n ( x 1 , … , x n ) K n − 1 ( x 2 , … , x n ) = x 1 + K n − 2 ( x 3 , … , x n ) K n − 1 ( x 2 , … , x n ) {displaystyle {frac {K_{n}(x_{1},;ldots ,;x_{n})}{K_{n-1}(x_{2},;ldots ,;x_{n})}}=x_{1}+{frac {K_{n-2}(x_{3},;ldots ,;x_{n})}{K_{n-1}(x_{2},;ldots ,;x_{n})}}}
  • В поле рациональных дробей K n ( x 1 , … , x n ) K n − 1 ( x 2 , … , x n ) = [ x 1 ; x 2 , … , x n ] = x 1 + 1 x 2 + 1 x 3 + … {displaystyle {frac {K_{n}(x_{1},;ldots ,x_{n})}{K_{n-1}(x_{2},;ldots ,;x_{n})}}=[x_{1};;x_{2},;ldots ,;x_{n}]=x_{1}+{frac {1}{displaystyle {x_{2}+{frac {1}{x_{3}+ldots }}}}}} — цепная дробь.
  • Справедливо матричное соотношение: ( K n ( x 1 , … , x n ) K n − 1 ( x 1 , … , x n − 1 ) K n − 1 ( x 2 , … , x n ) K n − 2 ( x 2 , … , x n − 1 ) ) = ( x 1 1 1 0 ) × … × ( x n 1 1 0 ) {displaystyle {egin{pmatrix}K_{n}(x_{1},;ldots ,;x_{n})&K_{n-1}(x_{1},;ldots ,;x_{n-1})K_{n-1}(x_{2},;ldots ,;x_{n})&K_{n-2}(x_{2},;ldots ,;x_{n-1})end{pmatrix}}={egin{pmatrix}x_{1}&11&0end{pmatrix}} imes ldots imes {egin{pmatrix}x_{n}&11&0end{pmatrix}}} .
    • Откуда для определителей получается тождество: K n ( x 1 , … , x n ) ⋅ K n − 2 ( x 2 , … , x n − 1 ) − K n − 1 ( x 1 , … , x n − 1 ) ⋅ K n − 1 ( x 2 , … , x n ) = ( − 1 ) n . {displaystyle K_{n}(x_{1},;ldots ,;x_{n})cdot K_{n-2}(x_{2},;ldots ,;x_{n-1})-K_{n-1}(x_{1},;ldots ,;x_{n-1})cdot K_{n-1}(x_{2},;ldots ,;x_{n})=(-1)^{n}.}
    • А также: K n − 1 ( x 2 , … , x n ) ⋅ K n + 2 ( x 1 , … , x n + 2 ) − K n ( x 1 , … , x n ) ⋅ K n + 1 ( x 2 , … , x n + 2 ) = ( − 1 ) n + 1 x n + 2 . {displaystyle K_{n-1}(x_{2},;ldots ,;x_{n})cdot K_{n+2}(x_{1},;ldots ,;x_{n+2})-K_{n}(x_{1},;ldots ,;x_{n})cdot K_{n+1}(x_{2},;ldots ,;x_{n+2})=(-1)^{n+1}x_{n+2}.}