Коническая комбинация

Коническая комбинация (коническая сумма, взвешенная сумма) — операция над конечным набором векторов x 1 , x 2 , … , x n {displaystyle x_{1},x_{2},dots ,x_{n}} в евклидовом пространстве, сопоставляющая набору вектор вида:

α 1 x 1 + α 2 x 2 + ⋯ + α n x n {displaystyle alpha _{1}x_{1}+alpha _{2}x_{2}+cdots +alpha _{n}x_{n}} ,

где все числа α i {displaystyle alpha _{i}} удовлетворяют условию α i ⩾ 0 {displaystyle alpha _{i}geqslant 0} .

Название связано с фактом, что коническая сумма векторов определяет конус (возможно, в подпространстве меньшей размерности).

Коническая оболочка — множество всех конических комбинаций для данного множества S {displaystyle S} , обозначается cone ⁡ ( S ) {displaystyle operatorname {cone} (S)} или coni ⁡ ( S ) {displaystyle operatorname {coni} (S)} . То есть:

coni ⁡ ( S ) = { ∑ i = 1 k α i x i | x i ∈ S , α i ∈ R , α i ≥ 0 , i , k = 1 , 2 , … } {displaystyle operatorname {coni} (S)={Bigl {}sum _{i=1}^{k}alpha _{i}x_{i};{Big |};x_{i}in S,,alpha _{i}in mathbb {R} ,,alpha _{i}geq 0,i,k=1,2,dots {Bigr }}} .

По определению начало координат принадлежит всем коническим оболочкам.

Коническая оболочка множества S {displaystyle S} является выпуклым множеством. Фактически, она является пересечением всех выпуклых конусов, содержащих S {displaystyle S} , плюс начало координат. Если S {displaystyle S} является компактным пространством (в частности, если оно состоит из конечного числа точек), добавление начала координат к пересечению всех выпуклых конусов не требуется.

Всякой ненулевой конической комбинации соответствует выпуклая комбинация с коэффициентами делёнными на сумму коэффициентов исходной комбинации, в этой связи конические комбинации и конические оболочки могут рассматриваться как выпуклые комбинации и выпуклые оболочки в проективном пространстве.

Хотя выпуклая оболочка компактного множества является компактным множеством тоже, это неверно для конической оболочки, так как в общем случае она не ограничена. Более того, коническая оболочка компакта даже не обязательно будет замкнутым множеством — контрпримером служит сфера, проходящая через начало координат, конической оболочкой которой является открытое полупространство плюс начало координат. Однако если S {displaystyle S} является непустым компактным множеством, не содержащим начало координат, коническая оболочка множества S {displaystyle S} является замкнутым множеством.