Порядковая статистика




Главная
Новости
Статьи
Ремонт
Каркасный дом
Несущие конструкции
Металлические конструкции
Прочность дорог
Дорожные материалы
Стальные конструкции
Грунтовые основания
Опорные сооружения




02.03.2021


02.03.2021


01.03.2021


01.03.2021


28.02.2021


27.02.2021


26.02.2021


26.02.2021


25.02.2021


25.02.2021





Яндекс.Метрика
         » » Порядковая статистика

Порядковая статистика

17.01.2021

Порядковые статистики в математической статистике - это упорядоченная по неубыванию выборка одинаково распределённых независимых случайных величин и её элементы, занимающие строго определенное место в ранжированной совокупности.

Определение

Пусть X 1 , … , X n {displaystyle X_{1},ldots ,X_{n}} - конечная выборка из распределения P X {displaystyle mathbb {P} ^{X}} , определённая на некотором вероятностном пространстве ( Ω , F , P ) {displaystyle (Omega ,{mathcal {F}},mathbb {P} )} . Пусть ω ∈ Ω {displaystyle omega in Omega } и x i = X i ( ω ) , i = 1 , … , n {displaystyle x_{i}=X_{i}(omega ),;i=1,ldots ,n} . Перенумеруем последовательность { x i } i = 1 n {displaystyle {x_{i}}_{i=1}^{n}} в порядке неубывания, так что

x ( 1 ) ≤ x ( 2 ) ≤ ⋯ ≤ x ( n − 1 ) ≤ x ( n ) {displaystyle x_{(1)}leq x_{(2)}leq cdots leq x_{(n-1)}leq x_{(n)}} .

Эта последовательность называется вариационным рядом. Вариационный ряд и его члены являются порядковыми статистиками. Случайная величина X ( k ) ( ω ) = x ( k ) {displaystyle X_{(k)}(omega )=x_{(k)}} называется k {displaystyle k} -ой порядковой статистикой исходной выборки. Порядковые статистики являются основой непараметрических методов.

Замечания

Очевидно из определения:

  • X ( 1 ) = min ( X 1 , … , X n ) {displaystyle X_{(1)}=min(X_{1},ldots ,X_{n})} ;
  • X ( n ) = max ( X 1 , … , X n ) {displaystyle X_{(n)}=max(X_{1},ldots ,X_{n})} .

Порядковые статистики абсолютно непрерывного распределения

  • Пусть дана независимая выборка X 1 , … , X n {displaystyle X_{1},ldots ,X_{n}} из абсолютно непрерывного распределения, задаваемого плотностью распределения f X {displaystyle f_{X}} и функцией распределения F X {displaystyle F_{X}} . Тогда порядковые статистики также имеют абсолютно непрерывные распределения, и их плотности распределения имеют вид:
f X ( k ) ( x ) = n ! ( n − k ) ! ( k − 1 ) ! [ F X ( x ) ] k − 1 [ 1 − F X ( x ) ] n − k f X ( x ) {displaystyle f_{X_{(k)}}(x)={frac {n!}{(n-k)!(k-1)!}}[F_{X}(x)]^{k-1}[1-F_{X}(x)]^{n-k}f_{X}(x)} .
  • Случайный вектор ( X ( j ) , X ( k ) ) ⊤ {displaystyle left(X_{(j)},X_{(k)} ight)^{ op }} , где 1 ≤ j < k ≤ n {displaystyle 1leq j<kleq n} также имеет абсолютно непрерывное распределение, и совместная плотность распределения имеет вид:
f X ( j ) , X ( k ) ( x j , x k ) = { n ! ( j − 1 ) ! ( k − j − 1 ) ! ( n − k ) ! [ F X ( x j ) ] j − 1 [ F X ( x k ) − F X ( x j ) ] k − j − 1 [ 1 − F X ( x k ) ] n − k f X ( x j ) f X ( x k ) , x j ≤ x k 0 , x j > x k {displaystyle f_{X_{(j)},X_{(k)}}(x_{j},x_{k})=left{{egin{matrix}{frac {n!}{(j-1)!(k-j-1)!(n-k)!}}[F_{X}(x_{j})]^{j-1}[F_{X}(x_{k})-F_{X}(x_{j})]^{k-j-1}[1-F_{X}(x_{k})]^{n-k}f_{X}(x_{j})f_{X}(x_{k}),&x_{j}leq x_{k},&x_{j}>x_{k}end{matrix}} ight.} .

Пример

Пусть U 1 , … , U n ∼ U [ 0 , 1 ] {displaystyle U_{1},ldots ,U_{n}sim mathrm {U} [0,1]} - выборка из стандартного непрерывного равномерного распределения. Тогда

  • f U ( k ) ( u ) = n ! ( n − k ) ! ( k − 1 ) ! u k − 1 [ 1 − u ] n − k , u ∈ [ 0 , 1 ] {displaystyle f_{U_{(k)}}(u)={frac {n!}{(n-k)!(k-1)!}}u^{k-1}[1-u]^{n-k},quad uin [0,1]} ,

то есть U ( k ) ∼ B ( k , n − k + 1 ) {displaystyle U_{(k)}sim mathrm {B} (k,n-k+1)} , где B {displaystyle mathrm {B} } - бета-распределение;

  • f U ( j ) , U ( k ) ( u j , u k ) = n ! ( j − 1 ) ! ( k − j − 1 ) ! ( n − k ) ! u j j − 1 [ u k − u j ] k − j − 1 [ 1 − u k ] n − k , j < k , 0 ≤ u j ≤ u k ≤ 1 {displaystyle f_{U_{(j)},U_{(k)}}(u_{j},u_{k})={frac {n!}{(j-1)!(k-j-1)!(n-k)!}}u_{j}^{j-1}[u_{k}-u_{j}]^{k-j-1}[1-u_{k}]^{n-k},quad j<k,quad 0leq u_{j}leq u_{k}leq 1} ;
  • f U ( 1 ) , … , U ( n ) ( u 1 , … , u n ) = n ! , 0 ≤ u 1 ≤ ⋯ ≤ u n ≤ 1 {displaystyle f_{U_{(1)},ldots ,U_{(n)}}(u_{1},ldots ,u_{n})=n!,quad 0leq u_{1}leq cdots leq u_{n}leq 1} .