Нормальное число




Главная
Новости
Статьи
Ремонт
Каркасный дом
Несущие конструкции
Металлические конструкции
Прочность дорог
Дорожные материалы
Стальные конструкции
Воздухоопорные сооружения
Грунтовые основания




15.01.2021


15.01.2021


15.01.2021


15.01.2021


14.01.2021


12.01.2021


09.01.2021


07.01.2021


06.01.2021


06.01.2021





Яндекс.Метрика
         » » Нормальное число

Нормальное число

02.01.2021

Нормальное число по основанию n ( n ∈ N , n ⩾ 2 {displaystyle nin mathbb {N} ,ngeqslant 2} ) — всякое действительное число, в записи которого в n-ричной системе счисления произвольная группа из k последовательных цифр встречается с одной и той же асимптотической частотой, равной n-k для каждого k = 1, 2, ….

Числа, нормальные при записи их по любому основанию n, называются нормальными, или абсолютно нормальными.

Основные свойства и примеры

Любое рациональное число в записи по любому основанию ненормально. Это следует из того факта, что в записи рационального числа существует период. Например, 1/3 = 0,33333… не имеет в записи наперёд заданной последовательности цифр и потому не является нормальным. Отсюда следует, что нормальными числами могут являться только иррациональные числа.

Так как в записи нормального числа содержится любая наперёд заданная последовательность цифр, из этого следует, что начиная с некоторой цифровой позиции в записи любого нормального числа закодированы все созданные и пока не созданные литературные произведения, изображения, кинофильмы и др. Например, в десятичной записи числа π {displaystyle pi } последовательность 0123456789 впервые начинается с 17 387 594 880-го знака после запятой. До сих пор (на 2020 год) неизвестно, является ли число π {displaystyle pi } нормальным.

История

Понятие нормального числа было введено Эмилем Борелем в 1909 году. Используя лемму Бореля — Кантелли он доказал, что мера Лебега ненормальных чисел равна 0. Таким образом, почти все действительные числа нормальны. С другой стороны, числа, в десятичной записи которых отсутствует цифра 0, ненормальны. Поэтому множество ненормальных чисел несчётное.

Д. Чамперноун доказал, что число, являющееся конкатенацией десятичных записей последовательных целых чисел – 0,1234567891011121314151617…, нормально по основанию 10. В то же время неизвестно, нормально ли это число по другим основаниям. Для аналогичного числа 0,(1)(10)(11)(100)(101)(110)(111)(1000)(1001)…, записанного в двоичной системе счисления, также доказано, что оно нормально по основанию 2.

В 2002 году Бехер и Фигейра доказали, что существует вычислимое абсолютно нормальное число.

Открытые задачи

  • Являются ли числа π и e нормальными?
  • С одной стороны, неизвестно, верно ли, что любое иррациональное алгебраическое число нормально; с другой стороны, не известен ни один пример алгебраического числа, про которое доказано, что оно ненормально.