Метод фазовых функций




Главная
Новости
Статьи
Ремонт
Каркасный дом
Несущие конструкции
Металлические конструкции
Прочность дорог
Дорожные материалы
Стальные конструкции
Воздухоопорные сооружения
Грунтовые основания




15.01.2021


15.01.2021


15.01.2021


15.01.2021


14.01.2021


12.01.2021


09.01.2021


07.01.2021


06.01.2021


06.01.2021





Яндекс.Метрика
         » » Метод фазовых функций

Метод фазовых функций

19.12.2020

Метод фазовых функций — метод решения задач квантовой механики. Основан на понятии фазовой функции, имеющей ясный физический смысл. При рассмотрении движения элементарной частицы в потенциальном поле, если за начало системы отсчёта R = 0 {displaystyle R=0} принять центр рассеивающего потенциала, то фазовая функция в точке r {displaystyle r} равна фазе рассеяния на части потенциала, содержащейся в шаре радиуса r {displaystyle r} .

Фазовая и амплитудная функции

Рассмотрим рассеяние частицы без спина на сферически-симметричном потенциале V ( r ) {displaystyle V(r)} . Уравнение Шредингера для радиальной волновой функции u l ( r ) {displaystyle u_{l}(r)} имеет вид:

d 2 d r 2 u l ( r ) + [ k 2 − l ( l + 1 ) r 2 − V ( r ) ] u l ( r ) = 0 {displaystyle {frac {d^{2}}{dr^{2}}}u_{l}(r)+{Bigl [}k^{2}-{frac {l(l+1)}{r^{2}}}-V(r){Bigr ]}u_{l}(r)=0} (1).

Здесь k 2 {displaystyle k^{2}} — значение энергии частицы, l {displaystyle l} — значение орбитального момента частицы.

Решение этого уравнения имеет вид:

u l ( r ) ≈ C [ j l ( k r ) − tan ⁡ δ l n l ( k r ) ] {displaystyle u_{l}(r)approx C[j_{l}(kr)- an delta _{l}n_{l}(kr)]}

или

u l ( r ) → C s i n ( k r − l π 2 + δ l ) , r → ∞ {displaystyle u_{l}(r) ightarrow Csin(kr-{frac {lpi }{2}}+delta _{l}),r ightarrow infty } .

Здесь j l ( k r ) {displaystyle j_{l}(kr)} и n l ( k r ) {displaystyle n_{l}(kr)} — функции Риккати-Бесселя.

Введём в рассмотрение фазовую функцию δ l ( r ) {displaystyle delta _{l}(r)} и амплитудную функцию A l ( r ) {displaystyle A_{l}(r)} , исходя из двух условий:

u l ( r ) = A l ( r ) [ cos ⁡ δ l ( r ) j l ( k r ) − sin ⁡ δ l ( r ) n l ( k r ) ] {displaystyle u_{l}(r)=A_{l}(r)[cos delta _{l}(r)j_{l}(kr)-sin delta _{l}(r)n_{l}(kr)]} (2)

и

d d r u l ( r ) = A l ( r ) [ cos ⁡ δ l ( r ) d d r j l ( k r ) − sin ⁡ δ l ( r ) d d r n l ( k r ) ] {displaystyle {frac {d}{dr}}u_{l}(r)=A_{l}(r)[cos delta _{l}(r){frac {d}{dr}}j_{l}(kr)-sin delta _{l}(r){frac {d}{dr}}n_{l}(kr)]} (3).

Второе условие равносильно

d A l d r [ cos ⁡ δ l j l − sin ⁡ δ l n l ] − d δ l d r A l [ sin ⁡ δ l j l + cos ⁡ δ l n l ] = 0 {displaystyle {frac {dA_{l}}{dr}}[cos delta _{l}j_{l}-sin delta _{l}n_{l}]-{frac {ddelta _{l}}{dr}}A_{l}[sin delta _{l}j_{l}+cos delta _{l}n_{l}]=0} .

Продифференцировав уравнение ( 3 ) {displaystyle (3)} , подставим выражение для второй производной u l {displaystyle u_{l}} вместе с уравнением ( 2 ) {displaystyle (2)} в уравнение Шредингера ( 1 ) {displaystyle (1)} . Получим уравнение для фазовой функции δ l ( r ) {displaystyle delta _{l}(r)} :

d d r δ l ( r ) = − 1 k V ( r ) [ cos ⁡ δ l ( r ) j l ( k r ) − sin ⁡ δ l ( r ) n l ( k r ) ] 2 {displaystyle {frac {d}{dr}}delta _{l}(r)=-{frac {1}{k}}V(r)[cos delta _{l}(r)j_{l}(kr)-sin delta _{l}(r)n_{l}(kr)]^{2}} (4)

и начальное условие:

δ l ( 0 ) = 0 {displaystyle delta _{l}(0)=0} (4).

Аналогичным образом можно получить уравнение для амплитудной функции:

d d r A l ( r ) = − 1 k A l ( r ) V ( r ) [ cos ⁡ δ l ( r ) j l ( k r ) − sin ⁡ δ l ( r ) n l ( k r ) ] [ sin ⁡ δ l ( r ) j l ( k r ) + cos ⁡ δ l ( r ) n l ( k r ) ] {displaystyle {frac {d}{dr}}A_{l}(r)=-{frac {1}{k}}A_{l}(r)V(r)[cos delta _{l}(r)j_{l}(kr)-sin delta _{l}(r)n_{l}(kr)][sin delta _{l}(r)j_{l}(kr)+cos delta _{l}(r)n_{l}(kr)]} (5).

Фазовое уравнение ( 4 ) {displaystyle (4)} отражает связь фазы рассеяния с потенциалом. Оно является уравнением Риккати первого порядка и удобно для применения численных методов вычислений. На основе метода фазовых функций также можно вычислять амплитуды рассеяния, элементы S-матрицы, параметры рассеяния, энергии связанных состояний, функции Грина, коэффициенты прохождения через потенциальный барьер.