Фигурные числа

Фигурные числа — числа, которые можно представить с помощью геометрических фигур. Это историческое понятие восходит к пифагорейцам, которые развивали алгебру на геометрической основе и представляли любое положительное целое число в виде набора точек на плоскости. Отголоском этого подхода остались выражения «возвести число в квадрат или в куб».

В теории чисел и комбинаторике фигурные числа связаны с многими другими классами целых чисел — биномиальными коэффициентами, совершенными числами, числами Мерсенна, Ферма, Фибоначчи, Люка и другими.

Виды фигурных чисел

Со времён пифагорейцев (VI век до н. э.) традиционно различают следующие виды фигурных чисел (они определены, например, в VII книге «Начал» Евклида):

Линейные числа — числа, не разлагающиеся на сомножители, большие единицы, то есть это ряд простых чисел, дополненный единицей (у Евклида используется термин «первые числа», πρώτοι αριθμοί): 1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 211, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 251, 257, 263, 269, 271 … (последовательность A008578 в OEIS)
Плоские числа — числа, представимые в виде произведения двух сомножителей, больших единицы, то есть составные: 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 22, 24, 25, 26, 27, 28, 30, 32, 33, 34, 35, 36, 38, 39, 40, 42, 44, 45, 46, 48, 49, 50, 51, 52, 54, 55, 56, 57, 58, 60, 62, 63, 64, 65, 66, 68, 69, 70, 72, 74, 75, 76, 77, 78, 80, 81, 82, 84, 85, 86, 87, 88 … (последовательность A002808 в OEIS)
- Частным случаем являются прямоугольные числа (в источниках называются также «продолговатыми»), являющиеся произведением двух последовательных целых чисел, то есть имеющие вид n ( n + 1 ) . {displaystyle n(n+1).}
Телесные числа — числа, представимые произведением трёх сомножителей: 8, 12, 16, 18, 20, 24, 27, 28, 30, 32, 36, 40, 42, 44, 45, 48, 50, 52, 54, 56, 60, 63, 64, 66, 68, 70, 72, 75, 76, 78, 80, 81, 84, 88, 90, 92, 96, 98, 99, 100, 102, 104, 105, 108, 110, 112, 114, 116, 117, 120, 124, 125, 126, 128, 130, 132, 135, 136, 138, 140, 144 … (последовательность A033942 в OEIS)
Многоугольные числа — числа, связанные с определённым многоугольником, определение см. ниже.
Пространственные многогранные числа — числа, связанные с определённым многогранником, определение см. ниже.

Классические многоугольные числа

Определение и общий вид

Общее определение k-угольного числа для любого k ⩾ 3 {displaystyle kgeqslant 3} можно сформулировать следующим образом:

Например, треугольные числа получаются как частичные суммы ряда 1 + 2 + 3 + 4 … {displaystyle 1+2+3+4dots } , а четырёхугольным (квадратным) числам соответствует ряд 1 + 3 + 5 + 7 … {displaystyle 1+3+5+7dots }

Последовательность k-угольных чисел имеет вид:

1 , k , 3 k − 3 , 6 k − 8 , 10 k − 15 , 15 k − 24 , 21 k − 35 , 28 k − 48 , 36 k − 63 , 45 k − 80 … {displaystyle 1,k,3k-3,6k-8,10k-15,15k-24,21k-35,28k-48,36k-63,45k-80dots }

Общую формулу для явного подсчёта n {displaystyle n} -го по порядку k-угольного числа P n ( k ) {displaystyle P_{n}^{(k)}} легко получить, найдя по стандартным правилам сумму арифметической прогрессии. Эту формулу можно представить в нескольких вариантах, получаемых один из другого простыми преобразованиями:

Можно также использовать рекуррентную формулу:

P n + 1 ( k ) = P n ( k ) + ( k − 2 ) n + 1 ; P 1 ( k ) = 1 {displaystyle P_{n+1}^{(k)}=P_{n}^{(k)}+(k-2)n+1; P_{1}^{(k)}=1}

При увеличении числа сторон k {displaystyle k} на единицу соответствующие фигурные числа изменяются согласно формуле Никомаха:

Поскольку P n ( k ) {displaystyle P_{n}^{(k)}} линейно зависит от k , {displaystyle k,} справедлива формула:

P n ( k + s ) + P n ( k − s ) = 2 P n ( k ) {displaystyle P_{n}^{(k+s)}+P_{n}^{(k-s)}=2P_{n}^{(k)}} , где s = 0 , 1 , 2 … k − 3. {displaystyle s=0,1,2dots k-3.}

Другими словами, каждое многоугольное число есть среднее арифметическое для равноотстоящих от него по k {displaystyle k} многоугольных чисел с тем же номером.

Если k {displaystyle k} — простое число, то второе k-угольное число, равное k , {displaystyle k,} также простое; это единственная ситуация, когда многоугольное число является простым. В самом деле, запишем общую формулу в следующем виде:

P n ( k ) = 2 + ( n − 1 ) ( k − 2 ) 2 n {displaystyle P_{n}^{(k)}={frac {2+(n-1)(k-2)}{2}}n}

Пусть n > 2. {displaystyle n>2.} Если n {displaystyle n} чётно, то фигурное число делится на n / 2 , {displaystyle n/2,} а если нечётно, то делится на ( 2 + ( n − 1 ) ( k − 2 ) ) / 2. {displaystyle (2+(n-1)(k-2))/2.} В обоих случаях фигурное число оказывается составным.

Исторический очерк

Фигурные числа, по мнению пифагорейцев, играют важную роль в структуре мироздания. Поэтому их изучением занимались многие математики античности: Эратосфен, Гипсикл, Диофант Александрийский и другие. Гипсикл (II век до н. э.) дал общее определение k-угольного числа P n ( k ) {displaystyle P_{n}^{(k)}} как суммы n {displaystyle n} членов арифметической прогрессии, у которой первый член есть 1, а разность равна k − 2 ; {displaystyle k-2;} определение Гипсикла приводится в книге Диофанта в следующем виде:

Если взять сколько-нибудь чисел, начиная с единицы, имеющих одинаковые разности, то сумма их, если разность единица, будет треугольником, если же двойка, то четырёхугольником, а если тройка — пятиугольником. Количество углов определяется разностью, увеличенной на двойку, а сторона — количеством взятых чисел, считая и единицу.

Диофант написал большое исследование о свойствах многоугольных чисел, фрагменты которого дошли до наших дней. О фигурных числах много говорится в пифагорейских учебниках арифметики, созданных Никомахом Геразским и Теоном Смирнским (II век), которые установили ряд зависимостей между фигурными числами разных размерностей. Большой интерес к фигурным числам проявили индийские математики и первые математики средневековой Европы (Фибоначчи, Пачоли, Кардано и др.).

В Новое время многоугольными числами занимались Ферма, Валлис, Эйлер, Лагранж, Гаусс и другие. В сентябре 1636 года Ферма сформулировал в письме Мерсенну замечательную теорему, которая сегодня называется теоремой Ферма о многоугольных числах:

Я первым открыл очень красивую и совершенно общую теорему о том, что каждое число является либо треугольным, либо суммой двух или трёх треугольных чисел; каждое число или квадратное, или является суммой двух, трёх или четырёх квадратов; или пятиугольное, или является суммой двух, трёх, четырёх или пяти пятиугольных чисел, и т. д. до бесконечности, будь то для шестиугольных, семиугольных или любых многоугольных чисел. Я не могу дать здесь доказательство, которое зависит от многочисленных и запутанных тайн чисел, ибо я намерен посвятить этой теме целую книгу и получить в этой части арифметики удивительные достижения по сравнению с ранее известными пределами.

Вопреки обещанию, Ферма так и не опубликовал доказательство этой теоремы, которую в письме Паскалю (1654) назвал своим главным достижением в математике. Проблемой занимались многие выдающиеся математики — в 1770 году Лагранж доказал теорему для квадратных чисел (теорема Лагранжа о сумме четырёх квадратов), в 1796 году Гаусс дал доказательство для треугольных. Полное доказательство теоремы сумел дать Коши в 1813 году.

Треугольные числа

Последовательность треугольных чисел:

1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, 78, 91, 105, 120, 136, 153, 171, 190, 210, 231, 253, 276, 300, 325, 351, 378, 406, 435, 465, 496, 528, 561, 595, 630, 666, 703, 741, 780, 820, 861, 903, 946, 990, 1035, 1081, 1128, 1176, 1225, 1275, 1326, 1378, 1431 …, n ( n + 1 ) 2 {displaystyle {frac {n(n+1)}{2}}} … (последовательность A000217 в OEIS)

Свойства:

Чётность элемента последовательности меняется с периодом 4: нечётное, нечётное, чётное, чётное.
Обозначим для краткости n {displaystyle n} -е треугольное число: T n = P n ( 3 ) = n ( n + 1 ) 2 . {displaystyle T_{n}=P_{n}^{(3)}={frac {n(n+1)}{2}}.} Тогда справедливы рекуррентные формулы:

T 2 n = 3 T n + T n − 1 {displaystyle T_{2n}=3T_{n}+T_{n-1}} T 2 n + 1 = 3 T n + T n + 1 {displaystyle T_{2n+1}=3T_{n}+T_{n+1}}

Формула Баше де Мезириака: общую формулу многоугольного числа можно преобразовать так, что она покажет выражение любого многоугольного числа через треугольные:

Сумма двух последовательных треугольных чисел даёт полный квадрат (квадратное число):

T n + T n + 1 = ( n + 1 ) 2 = P n + 1 ( 4 ) . {displaystyle T_{n}+T_{n+1}=(n+1)^{2}=P_{n+1}^{(4)}.} .

Сумма конечного ряда треугольных чисел вычисляется по формуле:

S m − 1 = 1 + 3 + 6 + ⋯ + ( m − 1 ) m 2 = m 3 − m 6 {displaystyle S_{m-1}=1+3+6+dots +{frac {(m-1)m}{2}}={frac {m^{3}-m}{6}}} .

Ряд из чисел, обратных треугольным, сходится:

1 + 1 3 + 1 6 + 1 10 + 1 15 + ⋯ = 2 ∑ n = 1 ∞ ( 1 n − 1 n + 1 ) = 2 {displaystyle 1+{1 over 3}+{1 over 6}+{1 over 10}+{1 over 15}+dots =2sum _{n=1}^{infty }left({1 over n}-{1 over n+1} ight)=2}

Удвоенные треугольные числа дают последовательность (определённых выше ) прямоугольных чисел.
Натуральное число N {displaystyle N} является треугольным тогда и только тогда, когда число 8 N + 1 {displaystyle 8N+1} является полным квадратом. Это несложно доказать непосредственно, но проще вывести из общей методики (задача 2)..
Существует бесконечно много треугольных чисел, которые одновременно являются квадратными («квадратные треугольные числа»): 1 , 36 , 1225 , 41616 , 1413721 … {displaystyle 1,36,1225,41616,1413721dots } (последовательность A001110 в OEIS).
Известное в мистике «число зверя» (666) является 36-м треугольным. Оно является наименьшим треугольным числом, которое представимо в виде суммы квадратов треугольных чисел: 666 = 15 2 + 21 2 . {displaystyle 666=15^{2}+21^{2}.}
Треугольные числа образуют третью диагональную линию треугольника Паскаля; см. подробнее ниже.

Квадратные числа

Квадратные числа представляют собой произведение двух одинаковых натуральных чисел, то есть являются полными квадратами:

1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361, 400, 441, 484, 529, 576, 625, 676, 729, 784, 841, 900, 961, 1024, 1089, 1156, 1225, 1296, 1369, 1444, 1521, 1600, 1681, 1764, 1849, 1936, 2025, 2116, 2209, 2304, 2401, 2500 …, n 2 {displaystyle n^{2}} … (последовательность A000290 в OEIS)

Каждое квадратное число, кроме единицы, есть сумма двух последовательных треугольных чисел:

n 2 = T n − 1 + T n {displaystyle n^{2}=T_{n-1}+T_{n}} . Примеры: 4 = 1 + 3 ; 9 = 3 + 6 ; 16 = 6 + 10 {displaystyle 4=1+3;quad 9=3+6;quad 16=6+10} и т. д.

Сумма квадратов первых n {displaystyle n} натуральных чисел вычисляется по формуле:

1 2 + 2 2 + 3 2 + . . . + n 2 = n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 ) 6 {displaystyle 1^{2}+2^{2}+3^{2}+...+n^{2}={frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}}

Ряд обратных квадратов сходится:

∑ n = 1 ∞ 1 n 2 = 1 1 2 + 1 2 2 + ⋯ + 1 n 2 + ⋯ = π 2 6 {displaystyle sum _{n=1}^{infty }{frac {1}{n^{2}}}={frac {1}{1^{2}}}+{frac {1}{2^{2}}}+dots +{frac {1}{n^{2}}}+dots ={frac {pi ^{2}}{6}}}

Каждое натуральное число может быть представлено как сумма не более четырёх квадратов (теорема Лагранжа о сумме четырёх квадратов).

Тождество Брахмагупты — Фибоначчи: произведение суммы двух квадратных чисел на любую другую сумму двух квадратных чисел само представимо в виде суммы двух квадратных чисел, причём двумя способами.

( a 2 + b 2 ) ( c 2 + d 2 ) = ( a c − b d ) 2 + ( a d + b c ) 2 = ( a c + b d ) 2 + ( a d − b c ) 2 . {displaystyle (a^{2}+b^{2})(c^{2}+d^{2})=(ac-bd)^{2}+(ad+bc)^{2}=(ac+bd)^{2}+(ad-bc)^{2}.}

Пример:

( 1 2 + 4 2 ) ( 2 2 + 7 2 ) = 26 2 + 15 2 = 30 2 + 1 2 . {displaystyle (1^{2}+4^{2})(2^{2}+7^{2})=26^{2}+15^{2}=30^{2}+1^{2}.}

Пятиугольные числа

1, 5, 12, 22, 35, 51, 70, 92, 117, 145, 176, 210, 247, 287, 330, 376, 425, 477, 532, 590, 651, 715, 782, 852, 925, 1001, 1080, 1162, 1247, 1335, 1426, 1520, 1617, 1717, 1820, 1926, 2035, 2147, 2262, 2380, 2501, 2625, 2752, 2882, 3015, 3151 …, n ( 3 n − 1 ) 2 {displaystyle {frac {n(3n-1)}{2}}} … (последовательность A000326 в OEIS)

Если в формуле n ( 3 n − 1 ) 2 {displaystyle {frac {n(3n-1)}{2}}} указать для n {displaystyle n} более общую последовательность:

n = 0 , 1 , − 1 , 2 , − 2 , 3 , − 3 … {displaystyle n=0,1,-1,2,-2,3,-3dots }

то получатся так называемые обобщённые пятиугольные числа:

0, 1, 2, 5, 7, 12, 15, 22, 26, 35, 40, 51, 57, 70, 77, 92, 100, 117, 126, 145, 155, 176, 187, 210, 222, 247, 260, 287, 301, 330, 345, 376, 392, 425, 442, 477, 495, 532, 551, 590, 610, 651, 672, 715, 737, 782, 805, 852, 876, 925, 950, 1001, 1027, 1080, 1107, 1162, 1190, 1247, 1276, 1335... (последовательность A001318 в OEIS)

Леонард Эйлер обнаружил обобщённые пятиугольные числа в следующем тождестве:

( 1 − x ) ( 1 − x 2 ) ( 1 − x 3 ) … = 1 − x − x 2 + x 5 + x 7 − x 12 − x 15 + x 22 + x 26 − x 35 − x 40 + … {displaystyle (1-x)(1-x^{2})(1-x^{3})ldots =1-x-x^{2}+x^{5}+x^{7}-x^{12}-x^{15}+x^{22}+x^{26}-x^{35}-x^{40}+ldots }

Степени x {displaystyle x} в правой части тождества образуют последовательность обобщённых пятиугольных чисел, См. подробнее: Пентагональная теорема Эйлера.

Шестиугольные числа

1, 6, 15, 28, 45, 66, 91, 120, 153, 190, 231, 276, 325, 378, 435, 496, 561, 630, 703, 780, 861, 946, 1035, 1128, 1225, 1326, 1431, 1540, 1653, 1770, 1891, 2016, 2145, 2278, 2415, 2556, 2701, 2850, 3003, 3160, 3321, 3486, 3655, 3828, 4005, 4186, 4371, 4560 …, 2 n 2 − n {displaystyle 2n^{2}-n} … (последовательность A000384 в OEIS)

Очевидно, последовательность шестиугольных чисел получается из последовательности треугольных чисел вычёркиванием элементов с чётными номерами: P n ( 6 ) = P 2 n − 1 ( 3 ) . {displaystyle P_{n}^{(6)}=P_{2n-1}^{(3)}.}

Натуральное число N {displaystyle N} является шестиугольным тогда и только тогда, когда число 8 N + 1 + 1 4 {displaystyle {frac {{sqrt {8N+1}}+1}{4}}} является натуральным. Это несложно доказать непосредственно, но проще вывести из общей методики (задача 2)..

Двенадцатиугольные числа

Двенадцатиугольные числа вычисляются по формуле 5 n 2 − 4 n {displaystyle 5n^{2}-4n} :

1, 12, 33, 64, 105, 156, 217, 288, 369, 460, 561, 672, 793, 924, 1065, 1216, 1377, 1548, 1729, 1920, 2121, 2332, 2553, 2784, 3025, 3276, 3537, 3808, 4089, 4380, 4681, 4992, 5313, 5644, 5985, 6336, 6697, 7068, 7449, 7840, 8241, 8652, 9073, 9504, 9945 … (последовательность A051624 в OEIS)

В десятичной системе n {displaystyle n} -ое двенадцатиугольное число заканчивается на ту же цифру, что и само число n {displaystyle n} .

Определение, является ли заданное число многоугольным

Задача 1 (часто называемая задачей Диофанта): дано натуральное число N > 2 , {displaystyle N>2,} требуется определить, является ли оно многоугольным числом P n ( k ) {displaystyle P_{n}^{(k)}} и если да, то для каких значений k , n . {displaystyle k,n.} Диофант сформулировал эту проблему так: «выяснить, сколько раз данное число встречается среди всевозможных многоугольных чисел». Алгоритм решения этой задачи следующий.

Выпишем все натуральные делители числа 2 N {displaystyle 2N} (включая 1 и само 2 N {displaystyle 2N} ).

Выпишем все натуральные делители числа 2 N − 2. {displaystyle 2N-2.}

Отберём из первого набора те числа, которые на 1 больше какого-либо числа из второго набора. Эти числа соответствуют n . {displaystyle n.}

Для каждого отобранного n {displaystyle n} подсчитаем k = 2 N − 2 n − 1 − 2 N n + 2. {displaystyle k={frac {2N-2}{n-1}}-{frac {2N}{n}}+2.}

Вычеркнем пары ( n , k ) , {displaystyle (n,k),} в которых k < 3 {displaystyle k<3} .

Тогда все соответствующие оставшимся парам P n ( k ) {displaystyle P_{n}^{(k)}} равны N . {displaystyle N.}

Пример. Пусть N = 105. {displaystyle N=105.} .

Делители 2 N = 210 : 1 , 2 , 3 , 5 , 6 , 7 , 10 , 14 , 15 , 21 , 30 , 35 , 42 , 70 , 105 , 210. {displaystyle 2N=210colon quad 1,2,3,5,6,7,10,14,15,21,30,35,42,70,105,210.}
Делители 2 N − 2 = 208 : 1 , 2 , 4 , 8 , 13 , 16 , 26 , 52 , 104 , 208. {displaystyle 2N-2=208colon quad 1,2,4,8,13,16,26,52,104,208.}
Отбираем n = 2 , 3 , 5 , 14 , 105. {displaystyle n=2,3,5,14,105.}
Соответственно k = 105 , 36 , 12 , 14 , 2. {displaystyle k=105,36,12,14,2.} Последнее значение отбросим.

Ответ: 105 {displaystyle 105} встречается как P 2 ( 105 ) , P 3 ( 36 ) , P 5 ( 12 ) , P 14 ( 14 ) , {displaystyle P_{2}^{(105)},P_{3}^{(36)},P_{5}^{(12)},P_{14}^{(14)},} то есть как 2-е 105-угольное, 3-е 36-угольное, 5-е 12-угольное и 14-е 14-угольное число.

Задача 2: дано натуральное число N > 2 , {displaystyle N>2,} требуется определить, является ли оно k-угольным числом P n ( k ) {displaystyle P_{n}^{(k)}} . В отличие от задачи 1, здесь k {displaystyle k} задано.

Для решения можно использовать тождество Диофанта:

8 ( k − 2 ) P n ( k ) + ( k − 4 ) 2 = ( 2 n ( k − 2 ) − ( k − 4 ) ) 2 {displaystyle 8(k-2)P_{n}^{(k)}+(k-4)^{2}=(2n(k-2)-(k-4))^{2}}

Это тождество без труда получается из приведенной выше общей формулы для P n ( k ) {displaystyle P_{n}^{(k)}} и равносильно ей. Из тождества вытекает решение поставленной задачи 2: если N {displaystyle N} есть k-угольное число, то есть N = P n ( k ) {displaystyle N=P_{n}^{(k)}} для некоторого n , {displaystyle n,} то 8 ( k − 2 ) N + ( k − 4 ) 2 {displaystyle 8(k-2)N+(k-4)^{2}} есть некоторое квадратное число R 2 {displaystyle R^{2}} , и обратно. При этом номер n {displaystyle n} находится по формуле:

n = R + k − 4 2 k − 4 {displaystyle n={frac {R+k-4}{2k-4}}}

Пример. Определим, является ли число 1540 {displaystyle 1540} 10-угольным. Значение 8 ( k − 2 ) N + ( k − 4 ) 2 {displaystyle 8(k-2)N+(k-4)^{2}} здесь равно 98596 = 314 2 , {displaystyle 98596=314^{2},} поэтому ответ утвердительный. n = 20 , {displaystyle n=20,} следовательно, 1540 {displaystyle 1540} является 20-м 10-угольным числом.

Производящая функция

Степенной ряд, коэффициенты которого — k-угольные числа, сходится при | x | < 1 {displaystyle |x|<1} :

P 1 ( k ) x + P 2 ( k ) x 2 + P 3 ( k ) x 3 + ⋯ = x ( 1 + ( k − 3 ) x ) ( 1 − x ) 3 {displaystyle P_{1}^{(k)}x+P_{2}^{(k)}x^{2}+P_{3}^{(k)}x^{3}+dots ={frac {x(1+(k-3)x)}{(1-x)^{3}}}}

Выражение справа является производящей функцией для последовательности k-угольных чисел.

Аппарат производящих функций позволяет применять в теории чисел и комбинаторике методы математического анализа. Приведенная формула также объясняет появление k-угольных чисел среди коэффициентов ряда Тэйлора для различных рациональных дробей. Примеры:

При k = 3 {displaystyle k=3} : x ( 1 − x ) 3 = P 1 ( 3 ) x + P 2 ( 3 ) 3 x 2 + P 3 ( 3 ) x 3 + ⋯ + P n ( 3 ) x n + … {displaystyle qquad {frac {x}{(1-x)^{3}}}=P_{1}^{(3)}x+P_{2}^{(3)}3x^{2}+P_{3}^{(3)}x^{3}+dots +P_{n}^{(3)}x^{n}+dots } При k = 4 {displaystyle k=4} : x ( x + 1 ) ( 1 − x ) 3 = P 1 ( 4 ) x + P 2 ( 4 ) 3 x 2 + P 3 ( 4 ) x 3 + ⋯ + P n ( 4 ) x n + … {displaystyle qquad {frac {x(x+1)}{(1-x)^{3}}}=P_{1}^{(4)}x+P_{2}^{(4)}3x^{2}+P_{3}^{(4)}x^{3}+dots +P_{n}^{(4)}x^{n}+dots } При k = 5 {displaystyle k=5} : x ( 2 x + 1 ) ( 1 − x ) 3 = P 1 ( 5 ) x + P 2 ( 5 ) 3 x 2 + P 3 ( 5 ) x 3 + ⋯ + P n ( 5 ) x n + … {displaystyle qquad {frac {x(2x+1)}{(1-x)^{3}}}=P_{1}^{(5)}x+P_{2}^{(5)}3x^{2}+P_{3}^{(5)}x^{3}+dots +P_{n}^{(5)}x^{n}+dots }

и т. д.

Для некоторых классов многоугольных чисел существуют свои, специфические производящие функции. Например, для квадратных треугольных чисел 1 , 36 , 1225 , 41616 , 1413721 … {displaystyle 1,36,1225,41616,1413721dots } производящая функция имеет следующий вид:

x ( 1 + x ) ( 1 − x ) ( 1 − 34 x + x 2 ) = x + 36 x 2 + 1225 x 3 + … {displaystyle {frac {x(1+x)}{(1-x)(1-34x+x^{2})}}=x+36x^{2}+1225x^{3}+dots } ; ряд сходится при | x | < 17 − 12 2 {displaystyle |x|<17-12{sqrt {2}}}

Сводная таблица

Центрированные многоугольные числа

Определение

Центрированные k-угольные числа ( k ⩾ 3 {displaystyle kgeqslant 3} ) — это класс фигурных чисел, получаемый следующим геометрическим построением. Сначала на плоскости фиксируется некоторая центральная точка. Затем вокруг неё строится правильный k-угольник с k {displaystyle k} точками вершин, каждая сторона содержит две точки (см. рисунок). Далее снаружи строятся новые слои k-угольников, причём каждая их сторона на новом слое содержит на одну точку больше, чем в предыдущем слое, то есть начиная со второго слоя каждый следующий слой содержит на k {displaystyle k} больше точек, чем предыдущий. Общее число точек внутри каждого слоя и принимается в качестве центрированного многоугольного числа (точка в центре считается начальным слоем).

Примеры построения центрированных многоугольных чисел:

Из построения видно, что центрированные многоугольные числа получаются как частичные суммы следующего ряда: 1 + k + 2 k + 3 k + 4 k + … {displaystyle 1+k+2k+3k+4k+dots } (например, центрированные квадратные числа, для которых k = 4 , {displaystyle k=4,} образуют последовательность: 1 , 5 , 13 , 25 , 41 … {displaystyle 1,5,13,25,41dots } ) Этот ряд можно записать как 1 + k ( 1 + 2 + 3 + 4 + … ) . {displaystyle 1+k(1+2+3+4+dots ).} , откуда видно, что в скобках — порождающий ряд для классических треугольных чисел (см. выше ). Следовательно, каждая последовательность центрированных k-угольных чисел, начиная со 2-го элемента, может быть представлена как k T n + 1 , {displaystyle kT_{n}+1,} где T n ( n = 1 , 2 , 3 … ) {displaystyle T_{n}(n=1,2,3dots )} — последовательность треугольных чисел. Например, центрированные квадратные числа — это учетверённые треугольные числа плюс 1, порождающий ряд для них имеет вид: 1 + 4 + 8 + 12 … {displaystyle 1+4+8+12dots }

Из приведенной выше формулы для треугольных чисел получаем общую формулу для n {displaystyle n} -го центрированного k-угольного числа C n ( k ) {displaystyle C_{n}^{(k)}} :

Производящая функция для центрированных многоугольных чисел имеет вид:

f ( x ) = x ( 1 + ( k − 2 ) x + x 2 ) ( 1 − x ) 3 ; | x | < 1 {displaystyle f(x)={frac {x(1+(k-2)x+x^{2})}{(1-x)^{3}}};quad |x|<1}

Типы центрированных многоугольных чисел

Центрированные треугольные числа

n {displaystyle n} -е по порядку центрированное треугольное число задаётся формулой:

C n ( 3 ) = 3 n 2 − 3 n + 2 2 {displaystyle C_{n}^{(3)}={frac {3n^{2}-3n+2}{2}}} .

Первые элементы последовательности центрированных треугольных чисел:

1, 4, 10, 19, 31, 46, 64, 85, 109, 136, 166, 199, 235, 274, 316, 361, 409, 460, 514, 571, 631, 694, 760, 829, 901, 976, 1054, 1135, 1219, 1306, 1396, 1489, 1585, 1684, 1786, 1891, 1999, 2110, 2224, 2341, 2461, 2584, 2710, 2839, 2971 …, 3 n 2 − 3 n + 2 2 {displaystyle {frac {3n^{2}-3n+2}{2}}} (последовательность A005448 в OEIS) Некоторые свойства

Каждое центрированное треугольное число, начиная с 10, является суммой трёх последовательных классических треугольных чисел: C n ( 3 ) = P n ( 3 ) + P n − 1 ( 3 ) + P n − 2 ( 3 ) . {displaystyle C_{n}^{(3)}=P_{n}^{(3)}+P_{n-1}^{(3)}+P_{n-2}^{(3)}.}

Каждое центрированное треугольное число C n ( 3 ) {displaystyle C_{n}^{(3)}} при делении на 3 дает остаток 1, а частное (если оно положительно), есть классическое треугольное число T n − 1 {displaystyle T_{n-1}} .

Некоторые центрированные треугольные числа являются простыми: 19, 31, 109, 199, 409 … (последовательность A125602 в OEIS).

Центрированные квадратные числа

n {displaystyle n} -е по порядку центрированное 4-угольное (квадратное) число задаётся формулой:

C n ( 4 ) = ( 2 n − 1 ) 2 + 1 2 = 2 n 2 − 2 n + 1 = ( n − 1 ) 2 + n 2 {displaystyle C_{n}^{(4)}={(2n-1)^{2}+1 over 2}=2n^{2}-2n+1=(n-1)^{2}+n^{2}}

Первые элементы последовательности центрированных квадратных чисел:

1, 5, 13, 25, 41, 61, 85, 113, 145, 181, 221, 265, 313, 365, 421, 481, 545, 613, 685, 761, 841, 925, 1013, 1105, 1201, 1301, 1405, 1513, 1625, 1741, 1861, 1985, 2113, 2245, 2381, 2521, 2665, 2813, 2965, 3121, 3281, 3445, 3613, 3785, 3961, 4141, 4325 …, n 2 + ( n − 1 ) 2 … {displaystyle n^{2}+(n-1)^{2}dots } (последовательность A001844 в OEIS) Некоторые свойства

Как видно из общей формулы, центрированное квадратное число есть сумма двух последовательных квадратов.

Все центрированные квадратные числа нечётны, и последняя цифра в их десятичном представлении меняется в цикле: 1-5-3-5-1.

Все центрированные квадратные числа и их делители дают остаток 1 при делении на 4, а при делении на 6, 8 или 12 дают остаток 1 или 5.

Все центрированные квадратные числа, за исключением 1, представляют длину гипотенузы в одной из пифагоровых троек (например, 3-4-5, 5-12-13). Таким образом, каждое центрированное квадратное число равно числу точек внутри данного расстояния в кварталах от центральной точки на квадратной решётке.

Разность между двумя последовательными классическими восьмиугольными числами есть центрированное квадратное число.

Некоторые центрированные квадратные числа являются простыми (очевидно, что классические квадратные числа всегда составные). Примеры простых центрированных квадратных чисел:

5, 13, 41, 61, 113, 181, 313, 421, 613, 761, 1013, 1201, 1301, 1741, 1861, 2113, 2381, 2521, 3121, 3613 … (последовательность A027862 в OEIS).

Центрированные пятиугольные числа

n {displaystyle n} -е по порядку центрированное пятиугольное число задается формулой:

C n ( 5 ) = 5 ( n − 1 ) 2 + 5 ( n − 1 ) + 2 2 {displaystyle C_{n}^{(5)}={frac {5(n-1)^{2}+5(n-1)+2}{2}}} .

Несколько первых центрированных пятиугольных чисел:

1, 6, 16, 31, 51, 76, 106, 141, 181, 226, 276, 331, 391, 456, 526, 601, 681, 766, 856, 951, 1051, 1156, 1266, 1381, 1501, 1626, 1756, 1891, 2031, 2176, 2326, 2481, 2641, 2806, 2976 …, 5 ( n − 1 ) 2 + 5 ( n − 1 ) + 2 2 {displaystyle {frac {5(n-1)^{2}+5(n-1)+2}{2}}} … (последовательность A005891 в OEIS)

Чётность центрированных пятиугольных чисел меняется по правилу: чётное-чётное-нечётное-нечётное, и последняя десятичная цифра меняется в цикле: 6-6-1-1.

Некоторые центрированные пятиугольные числа являются простыми: 31, 181, 331, 391, 601 . . . (последовательность A145838 в OEIS)

Центрированные шестиугольные числа

n {displaystyle n} -е по порядку центрированное шестиугольное число задаётся формулой:

C n ( 6 ) = n 3 − ( n − 1 ) 3 = 3 n ( n − 1 ) + 1 {displaystyle C_{n}^{(6)}=n^{3}-(n-1)^{3}=3n(n-1)+1} .

Несколько первых центрированных шестиугольных чисел:

1, 7, 19, 37, 61, 91, 127, 169, 217, 271, 331, 397, 469, 547, 631, 721, 817, 919 … 1 + 3 n ( n − 1 ) {displaystyle 1+3n(n-1)} … (последовательность A003215 в OEIS) Некоторые свойства

Последний десятичный знак центрированных шестиугольных чисел меняется в цикле 1-7-9-7-1.

Сумма первых n центрированных шестиугольных чисел равна «кубическому числу» n 3 . {displaystyle n^{3}.}

Справедливо рекуррентное равенство: C n ( 6 ) = 2 C n − 1 ( 6 ) − C n − 2 ( 6 ) + 6 {displaystyle C_{n}^{(6)}=2C_{n-1}^{(6)}-C_{n-2}^{(6)}+6}

Некоторые центрированные шестиугольные числа являются простыми: 7, 19, 37, 61, 127 … (последовательность A002407 в OEIS).

Центрированные семиугольные числа

n {displaystyle n} -е по порядку центрированное семиугольное число задаётся формулой 7 n 2 − 7 n + 2 2 {displaystyle {frac {7n^{2}-7n+2}{2}}} . Его можно также вычислить умножением треугольного числа ( n − 1 ) {displaystyle (n-1)} на 7 с добавлением 1.

Несколько первых центрированных семиугольных чисел:

1, 8, 22, 43, 71, 106, 148, 197, 253, 316, 386, 463, 547, 638, 736, 841, 953 …, 7 n 2 − 7 n + 2 2 {displaystyle {frac {7n^{2}-7n+2}{2}}} … (последовательность A069099 в OEIS)

Чётность центрированных семиугольных чисел меняется в цикле нечётный-чётный-чётный-нечётный.

Некоторые центрированные семиугольные числа являются простыми:

43, 71, 197, 463, 547, 953, 1471, 1933, 2647, 2843, 3697 … (последовательность A144974 в OEIS)

Существуют также центрированные семиугольные числа, входящие в пары простых чисел-близнецов:

43, 71, 197, 463, 1933, 5741, 8233, 9283, 11173, 14561, 34651 … (последовательность A144975 в OEIS)

Центрированные восьмиугольные числа

n {displaystyle n} -е по порядку центрированное восьмиугольное число задаётся формулой ( 2 n − 1 ) 2 = 4 n 2 − 4 n + 1. {displaystyle (2n-1)^{2}=4n^{2}-4n+1.}

Несколько первых центрированных восьмиугольных чисел:

1, 9, 25, 49, 81, 121, 169, 225, 289, 361, 441, 529, 625, 729, 841, 961, 1089. Некоторые свойства

Все центрированные восьмиугольные числа нечётны, и их последняя десятичная цифра меняется в цикле 1-9-5-9-1.

Центрированное восьмиугольное число совпадает с классическим квадратным числом с нечётным номером: C n ( 6 ) = P 2 n − 1 ( 4 ) . {displaystyle C_{n}^{(6)}=P_{2n-1}^{(4)}.} Другими словами, нечётное число является центрированным восьмиугольным числом тогда и только тогда, когда оно является квадратом целого числа.

Из предыдущего свойства следует, что все центрированные восьмиугольные числа, кроме 1, составные.

Центрированные девятиугольные числа

n {displaystyle n} -е по порядку центрированное девятиугольное число определяется общей формулой ( 3 n − 2 ) ( 3 n − 1 ) 2 . {displaystyle {frac {(3n-2)(3n-1)}{2}}.}

Умножая ( n − 1 ) {displaystyle (n-1)} -ое треугольное число на 9 и добавляя 1, получим n {displaystyle n} -ое центрированное девятиугольное число, но имеется и более простая связь с треугольными числами — каждое третье треугольное число (1-е, 4-е, 7-е, и т. д.) также является центрированным девятиугольным числом, и так можно получить все центрированные девятиугольные числа. Формальная запись: C n ( 9 ) = P 3 n − 2 ( 3 ) . {displaystyle C_{n}^{(9)}=P_{3n-2}^{(3)}.}

Первые центрированные девятиугольные числа:

1, 10, 28, 55, 91, 136, 190, 253, 325, 406, 496, 595, 703, 820, 946 … (последовательность A060544 в OEIS)

За исключением 6, все чётные совершенные числа являются также центрированными девятиугольными числами. В 1850-м году математик-любитель Фредерик Поллок высказал предположение, которое до сих пор не доказано и не опровергнуто, что любое натуральное число есть сумма максимум одиннадцати центрированных девятиугольных чисел.

Из общей формулы следует, что все центрированные девятиугольные числа, кроме 1, составные.

Центрированные десятиугольные числа

n {displaystyle n} -е по порядку центрированное десятиугольное число задаётся формулой 5 ( n 2 − n ) + 1 {displaystyle 5(n^{2}-n)+1} .

Первые представители центрированных десятиугольных чисел:

1, 11, 31, 61, 101, 151, 211, 281, 361, 451, 551, 661, 781, 911, 1051 … 5 ( n 2 − n ) + 1 {displaystyle 5(n^{2}-n)+1} (последовательность A062786 в OEIS)

Подобно другим k-угольным числам, n {displaystyle n} -ое центрированное десятиугольное число можно вычислить, умножая ( n − 1 ) {displaystyle (n-1)} -ое треугольное число на k {displaystyle k} , в нашем случае 10, затем добавляя 1. Как следствие, центрированные десятиугольные числа могут быть получены просто добавлением 1 к десятичному представлению числа. Таким образом, все центрированные десятиугольные числа нечётны и всегда оканчиваются на 1 в десятичном представлении.

Часть центрированных десятиугольных чисел являются простыми, например:

11, 31, 61, 101, 151, 211, 281, 661, 911, 1051, 1201, 1361, 1531, 1901, 2311, 2531, 3001, 3251, 3511, 4651, 5281… (последовательность A090562 в OEIS)

Многоугольные числа, одновременно классические и центрированные

Некоторые центрированные многоугольные числа совпадают с классическими, например: 1 , 10 , 25 , 51 ; {displaystyle 1,10,25,51;} для краткости будем называть такие многоугольные числа двойными.

1. Двойные числа с общим параметром k {displaystyle k} (число углов): имеет место тождество: C k ( k ) = P k + 1 ( k ) {displaystyle C_{k}^{(k)}=P_{k+1}^{(k)}quad } 2. Двойные треугольные числа с разными k . {displaystyle k.} Пример: 1 , 10 , 136 , 1891 , 26335 … {displaystyle 1,10,136,1891,26335dots } (последовательность A128862 в OEIS). Для их нахождения надо решить диофантово уравнение: m 2 + m = 3 n 2 − 3 n + 2 , {displaystyle m^{2}+m=3n^{2}-3n+2,} тогда P m ( 3 ) = C n ( 3 ) . {displaystyle P_{m}^{(3)}=C_{n}^{(3)}.} Некоторые решения: m = 1 , 4 , 16 , 61 , 229 … {displaystyle m=1,4,16,61,229dots } (последовательность A133161 в OEIS), соответственно: n = 1 , 3 , 10 , 36 , 133 … {displaystyle n=1,3,10,36,133dots } (последовательность A102871 в OEIS) 3. Классические квадратные, являющиеся центрированными треугольными числами. Их определяет диофантово уравнение: m 2 = 3 n 2 − 3 n + 2 2 . {displaystyle m^{2}={frac {3n^{2}-3n+2}{2}}.quad } Тогда C m ( 3 ) = P n ( 4 ) . {displaystyle C_{m}^{(3)}=P_{n}^{(4)}.} Решения: m = 1 , 2 , 8 , 19 , 79 … {displaystyle m=1,2,8,19,79dots } (последовательность A129445 в OEIS), соответственно n = 1 , 2 , 7 , 16 , 65 … {displaystyle n=1,2,7,16,65dots } Первые такие числа: 1 , 4 , 64 , 361 , 6241 … {displaystyle 1,4,64,361,6241dots } 4. Классические треугольные, являющиеся центрированными шестиугольными числами. Первые такие числа: 1 , 91 , 8911 , 873181 , 85562821 … {displaystyle 1,91,8911,873181,85562821dots } (последовательность A006244 в OEIS). Их определяет диофантово уравнение: m ( m + 1 ) 2 = 3 n 2 + 3 n + 1. {displaystyle {frac {m(m+1)}{2}}=3n^{2}+3n+1.quad } Тогда P m ( 3 ) = C n + 1 ( 6 ) {displaystyle P_{m}^{(3)}=C_{n+1}^{(6)}} Решения: m = 1 , 13 , 133 , 1321 , 13081 … {displaystyle m=1,13,133,1321,13081dots } (последовательность A031138 в OEIS) n = 0 , 5 , 54 , 539 , 5340 … {displaystyle n=0,5,54,539,5340dots } (последовательность A087125, в OEIS) 5. Классические квадратные, являющиеся центрированными шестиугольными числами. Первые такие числа: 1 , 169 , 32761 , 6355441 , 1232922769 … {displaystyle 1,169,32761,6355441,1232922769dots } (последовательность A006051 в OEIS). Их определяет диофантово уравнение: m 2 = 3 n 2 + 3 n + 1. {displaystyle m^{2}=3n^{2}+3n+1.quad } Тогда P m ( 4 ) = C n + 1 ( 6 ) {displaystyle P_{m}^{(4)}=C_{n+1}^{(6)}} Решения: m = 1 , 13 , 181 , 2521 , 35113 … {displaystyle m=1,13,181,2521,35113dots } (последовательность A001570 в OEIS) n = 0 , 7 , 104 , 1455 , 20272 … {displaystyle n=0,7,104,1455,20272dots } (последовательность A001921, в OEIS)

Пространственные фигурные числа

Наряду с рассмотренными выше фигурными числами для плоских фигур, можно определить пространственные или даже многомерные их аналоги. Уже античные математики исследовали тетраэдральные и квадратные пирамидальные числа. Несложно определить числа, связанные с пирамидами, в основании которых лежит любой другой многоугольник, например:

Пятиугольное пирамидальное число.
Шестиугольное пирамидальное число.
Семиугольное пирамидальное число.

Другие классы пространственных фигурных чисел связаны с классическими многогранниками.

Пирамидальные числа

Пирамидальные числа определяются следующим образом.

Геометрически пирамидальное число Π n ( k ) {displaystyle Pi _{n}^{(k)}} можно представить как пирамиду из n {displaystyle n} слоёв (см. рисунок), каждый из которых содержит от 1 (верхний слой) до P n ( k ) {displaystyle P_{n}^{(k)}} (нижний) шаров.

По индукции нетрудно доказать общую формулу для пирамидального числа, известную ещё Архимеду:

Правую часть этой формулы можно также выразить через плоские многоугольные числа:

Π n ( k ) = ( k − 2 ) n − k + 5 3 P n ( 3 ) = n + 1 6 ( 2 P n ( k ) + n ) {displaystyle Pi _{n}^{(k)}={frac {(k-2)n-k+5}{3}}P_{n}^{(3)}={frac {n+1}{6}}(2P_{n}^{(k)}+n)}

Существует трёхмерный аналог формулы Никомаха для пирамидальных чисел:

Π n ( k + 1 ) = Π n ( k ) + Π n − 1 ( 3 ) {displaystyle Pi _{n}^{(k+1)}=Pi _{n}^{(k)}+Pi _{n-1}^{(3)}}

Производящая функция пирамидальных чисел имеет вид:

f ( x ) = x ( 1 + ( k − 3 ) x ) ( 1 − x ) 4 ; | x | < 1 {displaystyle f(x)={frac {x(1+(k-3)x)}{(1-x)^{4}}};quad |x|<1}

Треугольные пирамидальные (тетраэдральные) числа

Треугольные пирамидальные числа, называемые также тетраэдральными — это фигурные числа, которые представляют тетраэдр, то есть пирамиду, в основании которой лежит треугольник. Несколько первых тетраэдральных чисел:

1, 4, 10, 20, 35, 56, 84, 120, 165, 220, 286, 364, 455, 560, 680, 816, 969 … (последовательность A000292 в OEIS)

Интересно, что пятое число равно сумме всех предыдущих.

Общая формула для тетраэдрального числа: Π n ( 3 ) = n ( n + 1 ) ( n + 2 ) 6 . {displaystyle Pi _{n}^{(3)}={frac {n(n+1)(n+2)}{6}}.}

Существует трёхмерный аналог формулы Баше де Мезириака, а именно разложение произвольного пирамидального числа по тетраэдральным:

Π n ( k ) = Π n ( 3 ) + ( k − 3 ) Π n − 1 ( 3 ) {displaystyle Pi _{n}^{(k)}=Pi _{n}^{(3)}+(k-3)Pi _{n-1}^{(3)}}

Пять тетраэдральных чисел одновременно являются треугольными (последовательность A027568 в OEIS):

1, 10, 120, 1540, 7140

Только три тетраэдральных числа являются квадратными числами:

1 2 = 1 {displaystyle 1^{2}=1} , 2 2 = 4 {displaystyle 2^{2}=4} , 140 2 = 19 600 {displaystyle 140^{2}=19,600} .

Одна из «гипотез Поллока» (1850 год): каждое натуральное число представимо как сумма не более пяти тетраэдральных чисел. До сих пор не доказана, хотя проверена для всех чисел, меньших 10 миллиардов.

Квадратные пирамидальные числа

Квадратные пирамидальные числа часто кратко называют просто пирамидальными. Для них пирамида имеет квадратное основание. Начальная последовательность:

1, 5, 14, 30, 55, 91, 140, 204, 285, 385, 506, 650, 819… (последовательность A000330 в OEIS).

Общая формула для квадратного пирамидального числа: Π n ( 4 ) = n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 ) 6 . {displaystyle Pi _{n}^{(4)}={frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}.}

Квадратное пирамидальное число Π n ( 4 ) {displaystyle Pi _{n}^{(4)}} также выражает общее количество квадратов в квадратной сетке n × n {displaystyle n imes n} .

Между квадратными и треугольными пирамидальными числами существует следующая зависимость:

4 Π n ( 4 ) = Π 2 n ( 3 ) {displaystyle 4Pi _{n}^{(4)}=Pi _{2n}^{(3)}}

Выше было отмечено, что сумма последовательных треугольных чисел есть квадратное число; аналогично сумма последовательных тетраэдральных чисел есть квадратное пирамидальное число: Π n ( 4 ) = Π n ( 3 ) + Π n − 1 ( 3 ) {displaystyle Pi _{n}^{(4)}=Pi _{n}^{(3)}+Pi _{n-1}^{(3)}}

Многогранные числа

По аналогии с квадратными можно ввести «кубические числа» Q n = n 3 , {displaystyle Q_{n}=n^{3},} а также числа, соответствующие другим правильным и неправильным многогранникам — например, платоновым телам:

Октаэдральное число
Додекаэдральное число
Икосаэдральное число

Предусмотрены также их центрированные варианты.

Кубические числа

Кубические числа Q n {displaystyle Q_{n}} представляют собой произведение трёх одинаковых натуральных чисел и имеют общий вид Q n = n 3 . {displaystyle Q_{n}=n^{3}.} Начальные значения:

1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, 1000 . . . (последовательность A000578 в OEIS)

Кубическое число можно выразить как разность квадратов последовательных треугольных чисел:

Q n = ( T n ) 2 − ( T n − 1 ) 2 , n ⩾ 2 {displaystyle Q_{n}=(T_{n})^{2}-(T_{n-1})^{2},ngeqslant 2}

Следствие: сумма первых n {displaystyle n} кубических чисел равна квадрату n {displaystyle n} -го треугольного числа:

Q 1 + Q 2 + Q 3 + ⋯ + Q n = ( T n ) 2 {displaystyle Q_{1}+Q_{2}+Q_{3}+dots +Q_{n}=(T_{n})^{2}}

Разность между двумя соседними кубическими числами есть центрированное шестиугольное число. Следствие: сумма первых n {displaystyle n} центрированных шестиугольных чисел есть кубическое число Q n {displaystyle Q_{n}} .

Выражение кубического числа через тетраэдральные:

Q n = Π n ( 3 ) + 4 Π n − 1 ( 3 ) + Π n − 2 ( 3 ) {displaystyle Q_{n}=Pi _{n}^{(3)}+4Pi _{n-1}^{(3)}+Pi _{n-2}^{(3)}} , где n > 2. {displaystyle n>2.}

Одна из «гипотез Поллока» (1850 год): каждое натуральное число представимо как сумма не более девяти кубических чисел. Доказана в начале XX века. Обычно достаточно семи кубов, но 15 чисел требуют восьми (15, 22, 50, 114, 167, 175, 186, 212, 231, 238, 303, 364, 420, 428, 454, последовательность A018889 в OEIS), а двум числам нужны все девять: 23 и 239. Если, кроме сложения, допускать вычитание, то достаточно и пяти кубов (возможно, что даже четырёх, но это пока не доказано).

Производящая функция кубических чисел имеет вид:

f ( x ) = x ( x 2 + 4 x + 1 ) ( x − 1 ) 4 ; | x | < 1 {displaystyle f(x)={frac {x(x^{2}+4x+1)}{(x-1)^{4}}};quad |x|<1}

Октаэдральные числа

Додекаэдральные числа

Икосаэдральные числа

Многомерные обобщения

Описанные выше трёхмерные конструкции можно обобщить на четыре и более измерений. Аналогом тетраэдральных чисел в d {displaystyle d} -мерном пространстве служат «симплексные числа», называемые также гипертетраэдральными:

S n [ d ] = ( n − 1 + d ) ! ( n − 1 ) ! d ! {displaystyle S_{n}^{[d]}={frac {(n-1+d)!}{(n-1)! d!}}}

Их частным случаем выступают:

S n [ 2 ] {displaystyle S_{n}^{[2]}} — треугольные числа.
S n [ 3 ] {displaystyle S_{n}^{[3]}} — тетраэдральные числа.
S n [ 4 ] {displaystyle S_{n}^{[4]}} — пентатопные числа

Другой класс многомерных чисел — гиперкубические: Q n [ d ] = n d . {displaystyle Q_{n}^{[d]}=n^{d}.} Четырёхмерные гиперкубические числа ( d = 4 {displaystyle d=4} ) называются биквадратными.

Числа из более чем одного класса

Некоторые фигурные числа могут входить более чем в один класс плоских и/или многомерных чисел, примеры для плоских чисел уже приводились выше. Для многомерных чисел это довольно редкая ситуация.

Пять чисел 1 , 10 , 120 , 1540 , 7140 {displaystyle 1,10,120,1540,7140} (и только они) одновременно треугольные и тетраэдральные (последовательность A027568 в OEIS).
Четыре числа 1 , 55 , 91 , 208335 {displaystyle 1,55,91,208335} одновременно треугольные и квадратные пирамидальные (последовательность A039596 в OEIS).
Три числа 1 , 4 , 19600 {displaystyle 1,4,19600} одновременно плоские квадратные и тетраэдральные (последовательность A003556 в OEIS).
Два числа 1 , 4900 {displaystyle 1,4900} одновременно квадратные плоские и квадратные пирамидальные. Это утверждение получило известность как «гипотеза Люка» или «задача о пушечных ядрах» (1875 год). Полное решение дал в 1918 году Джордж Невилл Ватсон.
Никакое натуральное число, кроме 1, не может быть одновременно:
- треугольным и кубическим;
- центрированным шестиугольным и кубическим.

В 1988 году Ф. Бейкерс и Дж. Топ доказали, что никакое число, кроме 1, не может быть одновременно тетраэдральным и квадратным пирамидальным. Доказано также, что не существует чисел, которые одновременно:

тетраэдральные и кубические;
квадратные пирамидальные и кубические;
тетраэдральные и биквадратные;
квадратные пирамидальные и биквадратные.

Роль в теории чисел

Треугольник Паскаля

Числа из треугольника Паскаля обнаруживают связь со многими типами фигурных чисел.

На третьей линии в треугольнике Паскаля находятся треугольные числа, а на четвёртой — тетраэдральные числа (см. рисунок). Это объясняется тем, что n {displaystyle n} -е тетраэдральное число есть сумма первых n {displaystyle n} треугольных чисел, которые расположены на третьей линии. Аналогично на пятой линии расположены четырёхмерные пентатопные числа и т. д. Все они, как и прочие числа внутри треугольника Паскаля, являются биномиальными коэффициентами.

Таким образом, все внутренние элементы треугольника Паскаля являются фигурными числами, причём представлены различные их типы. Вдоль каждой строки, слева направо, идут гипертетраэдральные числа возрастающей размерности. Известно, что сумма всех чисел n {displaystyle n} -й строки равна 2 n , {displaystyle 2^{n},} отсюда следует, что сумма всех чисел первых n {displaystyle n} строк равна числу Мерсенна M n . {displaystyle M_{n}.} Следовательно, число Мерсенна можно представить как сумму гипертетраэдральных чисел.

Другие применения

Многие теоремы теории чисел допускают формулировку в терминах фигурных чисел. Например, гипотеза Каталана утверждает, что среди гиперкубических чисел произвольных размерностей только одна пара отличается на 1: 3 2 = 2 3 + 1 {displaystyle 3^{2}=2^{3}+1} (доказано в 2002 году).

Всякое чётное совершенное число является треугольным (и одновременно шестиугольным, причём номер шестиугольного числа есть степень двойки). Такое число не может одновременно быть квадратным, кубическим или иным гиперкубическим числом.

Гипотеза Лежандра (1808 год, она же третья проблема Эдмунда Ландау): между последовательными квадратными числами всегда найдётся простое число. До сих пор не доказана.

Сумма первых n {displaystyle n} центрированных треугольных чисел ( n > 2 ) {displaystyle (n>2)} есть «магическая константа» для магического квадрата размерности n × n {displaystyle n imes n} . Другие способы получить эту же константу — через треугольное число T n 2 n , {displaystyle {frac {T_{n^{2}}}{n}},} или сложить все натуральные числа от T n − 1 {displaystyle T_{n-1}} до T n {displaystyle T_{n}} включительно.

Число Мерсенна, большее 1, не может быть квадратным, кубическим или иным гиперкубическим, но может быть треугольным. Треугольных чисел Мерсенна всего четыре: 1 , 3 , 5 , 4095 , {displaystyle 1,3,5,4095,} их поиск эквивалентен решению в натуральных числах уравнения Рамануджана — Нагеля: 2 n − 7 = x 2 . {displaystyle 2^{n}-7=x^{2}.} Как оказалось, решение этого уравнения существует только при n = 3 , 4 , 5 , 7 , 15 {displaystyle n=3,4,5,7,15} (последовательность A060728 в OEIS), и при n > 3 {displaystyle n>3} соответствующее число Мерсенна M n − 3 {displaystyle M_{n-3}} будет тогда треугольным.

Число Ферма также не может быть квадратным, кубическим или иным гиперкубическим, но в единственном случае может быть треугольным: F 0 = 3. {displaystyle F_{0}=3.} Число Ферма также не может быть тетраэдральным и гипертетраэдральным любой размерности выше 2-й.

Среди чисел Фибоначчи имеются только три квадратных числа (0, 1 и 144) и четыре треугольных (1, 3, 21, 55, последовательность A039595 в OEIS). Если повернуть треугольник Паскаля, как показано на рисунке, то числа Фибоначчи можно получить как суммы вдоль восходящих диагоналей; этот факт даёт разложение числа Фибоначчи по гипертетраэдральным числам.

Среди чисел Люка квадратных чисел два (1 и 4), а треугольных три (1, 3, 5778).

Числа Каталана C a t n {displaystyle Cat_{n}} выражаются через гипертетраэдральные числа следующим образом:

C a t n = S n + 1 [ n ] − S n + 2 [ n − 1 ] {displaystyle Cat_{n}=S_{n+1}^{[n]}-S_{n+2}^{[n-1]}}

Ещё один класс чисел, тесно связанных с фигурными — числа Стирлинга второго рода S ( n , m ) . {displaystyle S(n,m).} Этот класс включает все треугольные числа: T n = S ( n + 1 , n ) , {displaystyle T_{n}=S(n+1,n),} а выражение S ( n , 2 ) + 1 {displaystyle S(n,2)+1} равно 2-му по порядку n {displaystyle n} -мерному гиперкубическому числу Q 2 [ n ] . {displaystyle Q_{2}^{[n]}.} Наконец, всякое n {displaystyle n} -мерное гиперкубическое число разлагается по S ( n , m ) {displaystyle S(n,m)} следующим образом:

Q n [ d ] = ∑ m = 0 d S ( d , m ) x ( x − 1 ) … ( x − m + 1 ) {displaystyle Q_{n}^{[d]}=sum _{m=0}^{d}{S(d,m)x(x-1)dots (x-m+1)}}