Основная теорема о вычетах




Главная
Новости
Статьи
Ремонт
Каркасный дом
Несущие конструкции
Металлические конструкции
Прочность дорог
Дорожные материалы
Стальные конструкции
Воздухоопорные сооружения
Грунтовые основания




25.01.2021


24.01.2021


23.01.2021


21.01.2021


21.01.2021


20.01.2021


19.01.2021


19.01.2021


15.01.2021


15.01.2021





Яндекс.Метрика
         » » Основная теорема о вычетах

Основная теорема о вычетах

18.12.2020

Основная теорема о вычетах — мощный инструмент для вычисления интеграла мероморфной функции по замкнутому контуру. Её часто используют также для вычисления вещественных интегралов. Она является обобщением интегральной теоремы Коши и интегральной формулы Коши.

Формулировка: если функция f {displaystyle f} аналитична в некоторой замкнутой односвязной области G ¯ ⊂ C {displaystyle {overline {G}}subset mathbb {C} } , за исключением конечного числа особых точек a 1 , a 2 , … , a n {displaystyle a_{1},a_{2},dots ,a_{n}} , из которых ни одна не принадлежит граничному контуру ∂ G {displaystyle partial G} , то справедлива следующая формула:

  ∫ ∂ G f ( z ) d z = 2 π i ∑ k = 1 n r e s z = a k ⁡ f ( z ) , {displaystyle ~int limits _{partial G}f(z),dz=2pi isum _{k=1}^{n}mathop {mathrm {res} } _{z=a_{k}}f(z),}

где r e s z = a k ⁡ f {displaystyle mathop {mathrm {res} } _{z=a_{k}}f} — вычет функции f {displaystyle f} в точке a k {displaystyle a_{k}} .

Обход контура ∂ G {displaystyle partial G} производится против часовой стрелки. Для использования теоремы в вычислении вещественных интегралов нужно аналитически продолжить интегрируемую вещественную функцию на комплексную плоскость и найти её вычеты, что обычно довольно просто сделать. После этого нужно замкнуть контур интегрирования, добавив к вещественному отрезку полуокружность, лежащую в верхней или нижней комплексной полуплоскости. После этого интеграл по этому контуру можно вычислить, используя основную теорему о вычетах. Зачастую интеграл по полуокружности можно устремить к 0, выбрав её правильным образом, после чего контурный интеграл станет равен вещественному.

Пример

Интеграл

  ∫ − ∞ ∞ e i t x x 2 + 1 d x {displaystyle ~int limits _{-infty }^{infty }{e^{itx} over x^{2}+1},dx}

возникает в теории вероятностей при расчёте характеристической функции распределения Коши и не поддаётся вычислению обычными методами. Вычислим его через интеграл по контуру C {displaystyle C} , указанному на рисунке ( a > 1 {displaystyle a>1} ). Интеграл равен

  ∫ C f ( z ) d z = ∫ C e i t z z 2 + 1 d z . {displaystyle ~int limits _{C}{f(z)},dz=int limits _{C}{e^{itz} over z^{2}+1},dz.}

Так как e i t z {displaystyle e^{itz}} — целая функция (нет сингулярностей на комплексной плоскости), то функция имеет сингулярности лишь в точках, где z 2 + 1 = 0 {displaystyle z^{2}+1=0} . Так как z 2 + 1 = ( z + i ) ( z − i ) {displaystyle z^{2}+1=(z+i)(z-i)} , это возможно лишь при z = i {displaystyle z=i} или z = − i {displaystyle z=-i} . В пределах контура лежит лишь одна из этих точек.

Вычет f ( z ) {displaystyle f(z)} в z = i {displaystyle z=i} равен

r e s z = i ⁡ f ( z ) = e − t 2 i . {displaystyle mathop {mathrm {res} } _{z=i}f(z)={e^{-t} over 2i}.}

Тогда, по основной теореме о вычетах:

  ∫ C f ( z ) d z = 2 π i r e s z = i ⁡ f ( z ) = 2 π i e − t 2 i = π e − t . {displaystyle ~int limits _{C}f(z),dz=2pi i,mathop {mathrm {res} } _{z=i}f(z)=2pi i{e^{-t} over 2i}=pi e^{-t}.}

Контур C {displaystyle C} можно разбить на прямую часть и кривую дугу, так что

  ∫ straight + ∫ arc = π e − t . {displaystyle ~int limits _{mbox{straight}}+int limits _{mbox{arc}}=pi e^{-t},.}

Поэтому

  ∫ − a a = π e − t − ∫ arc . {displaystyle ~int limits _{-a}^{a}=pi e^{-t}-int limits _{mbox{arc}}.}

Можно показать, что при t > 0 {displaystyle t>0} :

  ∫ arc e i t z z 2 + 1 d z → 0 ; a → ∞ . {displaystyle ~int limits _{mbox{arc}}{e^{itz} over z^{2}+1},dz ightarrow 0;quad a ightarrow infty .}

Поэтому, если t > 0 {displaystyle t>0} , то

  ∫ − ∞ ∞ e i t z z 2 + 1 d z = π e − t . {displaystyle ~int limits _{-infty }^{infty }{e^{itz} over z^{2}+1},dz=pi e^{-t}.}

Аналогичным образом, для дуги, охватывающей точку − i {displaystyle -i} вместо i {displaystyle i} , можно показать, что при t < 0 {displaystyle t<0} :

  ∫ − ∞ ∞ e i t z z 2 + 1 d z = π e t , {displaystyle ~int limits _{-infty }^{infty }{e^{itz} over z^{2}+1},dz=pi e^{t},}

В итоге получаем:

  ∫ − ∞ ∞ e i t z z 2 + 1 d z = π e − | t | . {displaystyle ~int limits _{-infty }^{infty }{e^{itz} over z^{2}+1},dz=pi e^{-left|t ight|}.}

(При t = 0 {displaystyle t=0} интеграл вычисляется обычными методами анализа, он равен π {displaystyle pi } )