ГлавнаяОператор A : X → Y {displaystyle A:X o Y} называется ограниченным, если каждое ограниченное множество исходного топологического векторного пространства X {displaystyle X} он переводит в ограниченное множество топологического векторного пространства Y {displaystyle Y} .
Приведённое выше определение относится как к линейным, так и к нелинейным операторам.
Линейный ограниченный оператор
Определения
Для линейного оператора часто приводят другие определения:
- Будем называть линейный оператор A : X → Y {displaystyle A:X o Y} ограниченным, если существует такая окрестность нуля U {displaystyle U} , что A ( U ) {displaystyle A(U)} является ограниченным множеством в Y {displaystyle Y} .
- Будем называть линейный оператор A : X → Y {displaystyle A:X o Y} в нормированном пространстве ограниченным, если существует такое положительное число C {displaystyle C} , что ‖ A x ‖ ≤ C ‖ x ‖ {displaystyle |Ax|leq C|x|} . Наименьшее из таких чисел C {displaystyle C} обозначают через ‖ A ‖ {displaystyle |A|} и называют нормой оператора A {displaystyle A} . Иными словами,
Свойства в F-пространствах
Замечание: Частным случаем F-пространства является пространство Банаха.
- Справедлива теорема о том, что линейный ограниченный оператор, действующий из одного F-пространства в другое является непрерывным.
- Обратно (Теорема Банаха), всякий непрерывный оператор является ограниченным.
Поэтому для дополнительных свойств таких операторов смотрите статью Линейный непрерывный оператор.