Ограниченный оператор




Главная
Новости
Статьи
Ремонт
Каркасный дом
Несущие конструкции
Металлические конструкции
Прочность дорог
Дорожные материалы
Стальные конструкции
Воздухоопорные сооружения
Грунтовые основания




15.01.2021


15.01.2021


15.01.2021


15.01.2021


14.01.2021


12.01.2021


09.01.2021


07.01.2021


06.01.2021


06.01.2021





Яндекс.Метрика
         » » Ограниченный оператор

Ограниченный оператор

17.12.2020

Оператор A : X → Y {displaystyle A:X o Y} называется ограниченным, если каждое ограниченное множество исходного топологического векторного пространства X {displaystyle X} он переводит в ограниченное множество топологического векторного пространства Y {displaystyle Y} .

Приведённое выше определение относится как к линейным, так и к нелинейным операторам.


Линейный ограниченный оператор

Определения

Для линейного оператора часто приводят другие определения:

  • Будем называть линейный оператор A : X → Y {displaystyle A:X o Y} ограниченным, если существует такая окрестность нуля U {displaystyle U} , что A ( U ) {displaystyle A(U)} является ограниченным множеством в Y {displaystyle Y} .
  • Будем называть линейный оператор A : X → Y {displaystyle A:X o Y} в нормированном пространстве ограниченным, если существует такое положительное число C {displaystyle C} , что ‖ A x ‖ ≤ C ‖ x ‖ {displaystyle |Ax|leq C|x|} . Наименьшее из таких чисел C {displaystyle C} обозначают через ‖ A ‖ {displaystyle |A|} и называют нормой оператора A {displaystyle A} . Иными словами,
‖ A ‖ = sup ‖ x ‖ = 1 ‖ A x ‖ {displaystyle |A|=sup _{|x|=1}{|Ax|}}

Свойства в F-пространствах

Замечание: Частным случаем F-пространства является пространство Банаха.

  • Справедлива теорема о том, что линейный ограниченный оператор, действующий из одного F-пространства в другое является непрерывным.
  • Обратно (Теорема Банаха), всякий непрерывный оператор является ограниченным.

Поэтому для дополнительных свойств таких операторов смотрите статью Линейный непрерывный оператор.