Четверная группа Клейна




Главная
Новости
Статьи
Ремонт
Каркасный дом
Несущие конструкции
Металлические конструкции
Прочность дорог
Дорожные материалы
Стальные конструкции
Воздухоопорные сооружения
Грунтовые основания




27.01.2021


26.01.2021


26.01.2021


25.01.2021


24.01.2021


23.01.2021


21.01.2021


21.01.2021


20.01.2021


19.01.2021





Яндекс.Метрика
         » » Четверная группа Клейна

Четверная группа Клейна

17.12.2020

Четверная группа Клейна — нециклическая конечная коммутативная группа четвёртого порядка, играет важную роль в общей алгебре, комбинаторике и геометрии. Обычно обозначается V {displaystyle V} или V 4 {displaystyle V_{4}} (от нем. Vierergruppe — четверная группа). Впервые описана и исследована Феликсом Клейном в 1884 году.

  • Граф циклов четверной группы Клейна

  • Граф Кэли четверной группы Клейна

Бинарная операция между элементами { 1 , a , b , a b } {displaystyle {1,a,b,ab}} (единица — нейтральный элемент группы) задаётся следующей таблицей Кэли:

⋅ 1 a b a b 1 1 a b a b a a 1 a b b b b a b 1 a a b a b b a 1 {displaystyle {egin{array}{c||rrrr|}cdot &1&a&b&abhline 1&1&a&b&aba&a&1&ab&bb&b&ab&1&aab&ab&b&a&1end{array}}}

Порядок каждого элемента, отличного от единицы, равен 2, поэтому группа не является циклической. Является прямым произведением циклических групп второго порядка C 2 × C 2 {displaystyle C_{2} imes C_{2}} ; наименьшей по порядку нециклической группой.

Является простейшей группой диэдра D 2 {displaystyle D_{2}} . Любая группа четвёртого порядка изоморфна либо циклической группе, либо четверной группе Клейна. Симметрическая группа S 4 {displaystyle S_{4}} имеет, кроме себя самой и единичной подгруппы, лишь две нормальные подгруппы — знакопеременную группу A 4 {displaystyle A_{4}} и четверную группу Клейна V 4 {displaystyle V_{4}} , состоящую из подстановок ( ) , ( 12 ) ( 34 ) , ( 13 ) ( 24 ) , ( 14 ) ( 23 ) {displaystyle (),(12)(34),(13)(24),(14)(23)} .

Встречается во многих разделах математики, примеры изоморфных ей групп:

  • множество { 0 , 1 , 2 , 3 } {displaystyle {0,1,2,3}} с операцией побитовое исключающее ИЛИ;
  • приведённая система вычетов по модулю 8, состоящая из классов 1, 3, 5, 7 и по модулю 12, состоящая из классов 1, 5, 7, 11;
  • группа симметрий ромба в трёхмерном пространстве, состоящая из 4 преобразований: тождественное, поворот на 180 ∘ {displaystyle 180^{circ }} и два отражения относительно диагоналей.
  • группа поворотов тетраэдра на угол π {displaystyle pi } вокруг всех трёх рёберных медиан (вместе с тождественным поворотом).