Главная
Новости
Строительство
Ремонт
Дизайн и интерьер
Каркасный дом
Несущие конструкции
Металлические конструкции
Прочность дорог
Дорожные материалы
Стальные конструкции
Грунтовые основания
Опорные сооружения





















Яндекс.Метрика

Четверная группа Клейна

Четверная группа Клейна — нециклическая конечная коммутативная группа четвёртого порядка, играет важную роль в общей алгебре, комбинаторике и геометрии. Обычно обозначается V {displaystyle V} или V 4 {displaystyle V_{4}} (от нем. Vierergruppe — четверная группа). Впервые описана и исследована Феликсом Клейном в 1884 году.

  • Граф циклов четверной группы Клейна

  • Граф Кэли четверной группы Клейна

Бинарная операция между элементами { 1 , a , b , a b } {displaystyle {1,a,b,ab}} (единица — нейтральный элемент группы) задаётся следующей таблицей Кэли:

⋅ 1 a b a b 1 1 a b a b a a 1 a b b b b a b 1 a a b a b b a 1 {displaystyle {egin{array}{c||rrrr|}cdot &1&a&b&abhline 1&1&a&b&aba&a&1&ab&bb&b&ab&1&aab&ab&b&a&1end{array}}}

Порядок каждого элемента, отличного от единицы, равен 2, поэтому группа не является циклической. Является прямым произведением циклических групп второго порядка C 2 × C 2 {displaystyle C_{2} imes C_{2}} ; наименьшей по порядку нециклической группой.

Является простейшей группой диэдра D 2 {displaystyle D_{2}} . Любая группа четвёртого порядка изоморфна либо циклической группе, либо четверной группе Клейна. Симметрическая группа S 4 {displaystyle S_{4}} имеет, кроме себя самой и единичной подгруппы, лишь две нормальные подгруппы — знакопеременную группу A 4 {displaystyle A_{4}} и четверную группу Клейна V 4 {displaystyle V_{4}} , состоящую из подстановок ( ) , ( 12 ) ( 34 ) , ( 13 ) ( 24 ) , ( 14 ) ( 23 ) {displaystyle (),(12)(34),(13)(24),(14)(23)} .

Встречается во многих разделах математики, примеры изоморфных ей групп:

  • множество { 0 , 1 , 2 , 3 } {displaystyle {0,1,2,3}} с операцией побитовое исключающее ИЛИ;
  • приведённая система вычетов по модулю 8, состоящая из классов 1, 3, 5, 7 и по модулю 12, состоящая из классов 1, 5, 7, 11;
  • группа симметрий ромба в трёхмерном пространстве, состоящая из 4 преобразований: тождественное, поворот на 180 ∘ {displaystyle 180^{circ }} и два отражения относительно диагоналей.
  • группа поворотов тетраэдра на угол π {displaystyle pi } вокруг всех трёх рёберных медиан (вместе с тождественным поворотом).

Имя:*
E-Mail:
Комментарий: