Использование коэффициента увеличения изгибающих моментов определяемого но формуле (7.20), позволяет вычислять перемещения частично пластифицированных изгибаемых элементов методами упругих решений; для упругих участков м=1,0. Рассмотрим два таких метода.
Определение перемещений с помощью теорем Мора. Линия изгиба v(z) действительной балки, умноженная на EI, определяется как эпюра моментов фиктивной балки, загруженной фиктивной нагрузкой q(z)=м(z)M(z); линия углов поворотов v'(z) действительной балки, умноженная на EI, определяется как эпюра поперечных сил фиктивной балки, загруженной фиктивной нагрузкой q(z)=м(z)M(z) (рис. 7.6).
Если не требуется применять более строгие приемы вычислений, определение перемещений можно выполнить с использованием правил, приведенных на рис. 7.3. Фиктивная непрерывная нагрузка q=мМ приближенно разделяется на достаточно узкие трапеции, которые заменяются фиктивными сосредоточенными силами
Расстояния от мест их приложения до начала отсчета определяются по формуле
Формулы для приближенного вычисления значений Ui, ui приведены в табл. 7.2. Ясно, что эти формулы действительны и для приближенного вычисления зависимостей табл. 7.1.
Для некоторых нагрузок и сечений в случае простейших зависимостей m=f(ω) значения Ui и ui по формулам (7.35) и (7.36) можно получить строго прямым интегрированием; некоторые результаты приведены в табл. 7.1 и 7.2.
Определение перемещений с помощью виртуальной работы. Прогибы vp или углы поворота Vo, увеличенные на EI, в сечении на расстоянии zo от начала отсчета вычисляются соответственно по формулам
Если формулы (7.37) и (7.38) необходимо применить для расчета статически неопределимых систем, то с учетом теорем строительной механики (п. 5.4.3.2) один из двух моментов можно принимать для любой статически определимой основной системы, используемой при расчете действительной системы.
Для прямолинейных отрезков диаграмм M (см. рис. 7.3) или M выполняются зависимости
Пример частично пластифицированной консольной балки. Рассмотрим консольную балку (рис. 7.7) однородного двутаврового сечения, симметричного относительно одной оси, с изгибающим моментом в заделке, вызывающим напряженное состояние типа 2 согласно рис. 7.4.
На основе теоремы Мора и рис. 7.7 прогиб конца консоли (zo=0), умноженный на EI, равен
Подставим сюда Ma=Pa=Mez, a=(Mel/M(2)) o=l/m(2), и в соответствии с табл. 7.2, C1=0, C2=Р, K1=а1 Mel, K2=0,5a2 M2el. После преобразовании получим общую формулу для прогиба частично пластифицированнои консоли при рассматриваемом напряженном состоянии.
Упругий прогиб при максимальном изгибающем моменте Mel в заделке равен
Принимаем тавровое сечение по рис. 7.5 и максимальный момент mах M=m(3)Мel. Соответствующие коэффициенты равны a1=2,040; а2=2,081. Подставим эти значения в формулу (7.42) при m(2)=m(3)=1,612 и получим окончательно
Значение прогиба получено на 13,2% больше, чем его значение для упругой системы при значении изгибающего момента max М.
Влияние начальных несовершенств. Из рис. 1.9 следует, что возможные отклонения от идеальных предпосылок приводят к увеличению перемещений элементов в упругопластической стадии работы. В соответствии с предпосылками, изложенными ранее, влияние начальных несовершенств при разработке методов пластических решений здесь не учитывается. В то же время следует отметить, что на основе метода определения перемещений элементов (п. 7.4) можно учесть влияние и начальных несовершенств. Получаемые таким образом результаты могут явиться исходными для решения задач, в которых перемещения необходимо учитывать, в частности при расчете по деформированной схеме. Влияние остаточных напряжений в сварных двутавровых сечениях, имеющих две оси симметрии, можно учесть, согласно работам, с помощью коэффициента увеличения изгибающих моментов: